4.3 Bevegelsesmengde og støt

Hva er vanskeligst å stoppe?

En lastebil og en sykkel kjører like fort mot deg. Hvilken er vanskeligst å stoppe? Svaret er åpenbart -- lastebilen -- og det avslører en helt egen størrelse ved bevegelse, forskjellig fra både fart og energi: bevegelsesmengden.

Bevegelsesmengde (også kalt momentum) måler liksom «hvor mye bevegelse» et objekt har, og den avhenger av både masse og fart. Den er en av fysikkens aller viktigste bevaringsstørrelser -- like grunnleggende som energi, men med sin egen logikk.

I dette kapittelet skal vi se hva bevegelsesmengde er, hvordan den henger sammen med kraft og tid gjennom begrepet impuls, og fremfor alt det mektige prinsippet om at den totale bevegelsesmengden aldri endrer seg i et lukket system. Det prinsippet lar oss forutsi utfallet av kollisjoner og eksplosjoner -- og forklarer hvorfor airbager og kollisjonsputer redder liv. La oss begynne.

Bevegelsesmengde -- masse ganger fart

Bevegelsesmengden $\vec{p}$ til et objekt er rett og slett massen ganger hastigheten: $\vec{p} = m\vec{v}$. Enheten er kg·m/s (også skrevet N·s). Legg merke til pilen -- bevegelsesmengde er en vektor, med både størrelse og retning. Retningen er den samme som hastighetens.

Det er nyttig å sammenligne den med kinetisk energi, for de beskriver bevegelse på ulikt vis. Bevegelsesmengde $p = mv$ er en vektor og vokser lineært med farten. Kinetisk energi $\displaystyle E_k = \frac{1}{2}mv^2$ er en skalar og vokser kvadratisk med farten. Forskjellen blir slående med to biler som kjører mot hverandre med samme fart: i kinetisk energi har de begge positiv energi som legges sammen, men i bevegelsesmengde peker de motsatt vei, så de kansellerer til null totalt.

Hvorfor er bevegelsesmengde så viktig? For det første måler den motstanden mot å endre bevegelsen -- stort $p$ betyr vanskelig å stoppe. For det andre bevares den alltid i lukkede systemer, til og med med friksjon, noe som gjør den til et formidabelt verktøy for kollisjoner. Og for det tredje er den knyttet rett til kraft gjennom Newtons andre lov i sin mest grunnleggende form: $\displaystyle \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$.

La oss regne litt. En fotball på 0,43 kg i 20 m/s har $p = 0{,}43 \cdot 20 = 8{,}6$ kg·m/s. En bil på 1200 kg i 25 m/s har $p = 1200 \cdot 25 = 30\,000$ kg·m/s -- rundt 3500 ganger mer, selv om fotballen er raskere. Massen veier tungt. Et stillestående tre har derimot $p = 0$, uansett hvor massivt det er.

Impuls -- og hvorfor airbager redder liv

Hvordan endrer man bevegelsesmengden til noe? Med en kraft over tid. Impulsen $\vec{J}$ er kraften ganget med tiden den virker: $\vec{J} = \vec{F}\cdot\Delta t$, med enhet N·s. Og her kommer en vakker sammenheng, impuls-bevegelsesmengde-teoremet: impulsen er nøyaktig lik endringen i bevegelsesmengde, $\vec{J} = \Delta\vec{p}$.

Det følger direkte fra Newton. Siden $\displaystyle \vec{F} = m\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$, gir multiplikasjon med $\Delta t$ at $\vec{F}\cdot\Delta t = m\Delta\vec{v} = \Delta\vec{p}$. Det avgjørende poenget er at samme endring i bevegelsesmengde kan oppnås med stor kraft i kort tid eller liten kraft i lang tid. Vil du redusere kraften, må du forlenge tiden.

Dette er hele hemmeligheten bak sikkerhetsutstyr. Tenk på en passasjer på 70 kg i en bil som krasjer fra 20 m/s. Endringen i bevegelsesmengde er den samme uansett: $\Delta p = 70 \cdot 20 = 1400$ kg·m/s, altså en impuls på 1400 N·s. Uten airbag stopper kroppen på kanskje 0,010 s, og kraften blir $\displaystyle F = \frac{1400}{0{,}010} = 140\,000$ N -- som å bli truffet av 14 tonn. Dødelig. Med airbag forlenges stoppetiden til 0,15 s, og kraften synker til $\displaystyle F = \frac{1400}{0{,}15} \approx 9300$ N -- rundt 15 ganger mindre, og overlevelig. Airbagen endrer ikke impulsen, bare tiden den fordeles over.

La oss også regne et enkelt spark. En fotball på 0,43 kg i ro sparkes med 300 N i 0,020 s. Impulsen er $J = 300 \cdot 0{,}020 = 6{,}0$ N·s, og siden $J = \Delta p = mv$, blir farten $\displaystyle v = \frac{6{,}0}{0{,}43} \approx 14$ m/s.

Bevaring av bevegelsesmengde -- det urokkelige regnskapet

Nå kommer kapittelets kronjuvel. I et lukket system -- der ingen ytre krefter virker -- er den totale bevegelsesmengden konstant. For to objekter som kolliderer:

$$m_1\vec{v}_{1,før} + m_2\vec{v}_{2,før} = m_1\vec{v}_{1,etter} + m_2\vec{v}_{2,etter}$$

Det utrolige er at dette gjelder alltid -- selv med friksjon, deformasjon, varmetap. Hvorfor? Det følger av Newtons tredje lov. Når to objekter kolliderer, virker de på hverandre med like store, motsatt rettede krefter i nøyaktig like lang tid. Da blir impulsene like store og motsatte, så $\Delta\vec{p}_1 = -\Delta\vec{p}_2$, og summen av endringene er null. Den totale bevegelsesmengden rikker seg ikke.

La oss bruke det. En vogn på 2,0 kg i 3,0 m/s treffer en stillestående vogn på 3,0 kg, og de hekter seg sammen. Bevaring gir $2{,}0 \cdot 3{,}0 + 3{,}0 \cdot 0 = (2{,}0 + 3{,}0)v$, så $6{,}0 = 5{,}0v$ og $v = 1{,}2$ m/s. Sjekker vi energien, finner vi at den ikke bevares: $E_k$ gikk fra 9,0 J til 3,6 J, så 5,4 J ble til varme og deformasjon. Bevegelsesmengden bevares, men kinetisk energi gjør det ikke.

Prinsippet virker også «baklengs», ved eksplosjoner. En granat på 2,0 kg i ro eksploderer i to deler. Del A (1,2 kg) flyr mot øst med 30 m/s. Siden total bevegelsesmengde var null, må den fortsatt være null: $0 = 1{,}2 \cdot 30 + 0{,}8 \cdot v_B$, så $\displaystyle v_B = -\frac{36}{0{,}8} = -45$ m/s -- del B flyr mot vest med 45 m/s. Akkurat dette er prinsippet bak en rakett.

Elastiske og uelastiske støt -- og to dimensjoner

Kollisjoner deles inn etter hva som skjer med den kinetiske energien. I et elastisk støt bevares både bevegelsesmengde og kinetisk energi -- som mellom ideelle biljardkuler eller gassmolekyler. I et uelastisk støt bevares bevegelsesmengden, men kinetisk energi går tapt til varme, lyd og deformasjon. Et fullstendig uelastisk støt er når objektene henger sammen etterpå, som to biler som kræsjer og kiler seg i hverandre -- da tapes mest mulig energi. Men i alle støt bevares bevegelsesmengden.

Elastiske støt har en pen egenskap. To like masser, der den ene er i ro: de «bytter» farter. Treffer en vogn på 1,0 kg i 4,0 m/s en lik vogn i ro, kan vi løse de to bevaringsligningene (for bevegelsesmengde og energi) og finne at den første stopper helt opp ($v_1' = 0$) mens den andre overtar all farten ($v_2' = 4{,}0$ m/s). Du har sett det i et biljardstøt eller i Newtons vugge.

Til slutt: bevaring av bevegelsesmengde gjelder også i to dimensjoner, da bevarer vi hver komponent for seg. Tenk på et trafikkuhell der en bil på 1000 kg kjører nordover i 20 m/s og treffer en bil på 1500 kg som kjører østover i 15 m/s, og de henger sammen. I øst-retning: $p_x = 1500 \cdot 15 = 22\,500$ kg·m/s, så $\displaystyle v_x = \frac{22\,500}{2500} = 9{,}0$ m/s. I nord-retning: $p_y = 1000 \cdot 20 = 20\,000$, så $\displaystyle v_y = \frac{20\,000}{2500} = 8{,}0$ m/s. Vrakets fart blir $v = \sqrt{9{,}0^2 + 8{,}0^2} = \sqrt{145} = 12{,}0$ m/s, i retning $\displaystyle \theta = \arctan\frac{8{,}0}{9{,}0} \approx 42°$ nord for øst. To bevaringsligninger, ett vrak -- og politiet kan rekonstruere ulykken fra sluttposisjonen alene.

Oppsummering

Lastebilen er vanskelig å stoppe fordi den har stor bevegelsesmengde $\vec{p} = m\vec{v}$ -- en vektor som vokser lineært med farten, til forskjell fra kinetisk energi som vokser kvadratisk. Bevegelsesmengde er knyttet til kraft via $\displaystyle \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$.

Impulsen $\vec{J} = \vec{F}\cdot\Delta t = \Delta\vec{p}$ er endringen i bevegelsesmengde, og siden samme impuls kan fordeles over kort eller lang tid, kan vi senke kraften ved å forlenge tiden -- nettopp slik en airbag reduserer kraften rundt 15 ganger og redder liv.

Kapittelets kjerne er bevaring av bevegelsesmengde: i et lukket system er $\vec{p}_{total}$ alltid konstant, selv med friksjon og energitap, fordi Newtons tredje lov gir like og motsatte impulser. Det gjelder i elastiske støt (også kinetisk energi bevares), uelastiske støt (energi tapes til varme), eksplosjoner og todimensjonale kollisjoner -- der vi bevarer hver komponent for seg. Bevegelsesmengden er fysikkens urokkelige regnskap som lar oss rekonstruere alt fra biljardstøt til trafikkulykker.