3.4 Numeriske metoder for bevegelse

$$a = g - \frac{k}{m}v^2 = 9{,}81 - \frac{0{,}25}{80}v^2 = 9{,}81 - 0{,}003125\,v^2$$

from math import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt

g = 9.81        # m/s^2
m = 0.50        # masse i kg
k = 0.0024      # luftmotstandstall i kg/m
dt = 0.001      # tidssteg i s

t = 0.0         # tid i s
s = 0.0         # strekning i m, positiv nedover
v = 0.0         # fart i m/s, positiv nedover
tider = [t]
farter = [v]

while s < 100:
    a = g - k * v**2 / m
    v = v + a * dt
    s = s + v * dt
    t = t + dt
    tider.append(t)
    farter.append(v)

print(f"Falltid: {t:.2f} s")
print(f"Fart ved bakken: {v:.1f} m/s")
print(f"Terminalfart: {sqrt(m * g / k):.1f} m/s")

plt.plot(tider, farter)
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("v (m/s)")
plt.show()

Utskrift:

Falltid: 4.88 s
Fart ved bakken: 35.5 m/s
Terminalfart: 45.2 m/s

Svar: a) Falltiden er 4,88 s, og farten ved bakken er 35,5 m/s.

b) Uten luftmotstand:

$$t = \sqrt{\frac{2s}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100 \text{ m}}{9{,}81 \text{ m/s}^2}} = 4{,}52 \text{ s}$$

$$v = gt = 9{,}81 \text{ m/s}^2 \cdot 4{,}52 \text{ s} = 44{,}3 \text{ m/s}$$

Terminalfart, $kv_t^2 = mg$:

$$v_t = \sqrt{\frac{mg}{k}} = \sqrt{\frac{0{,}50 \text{ kg} \cdot 9{,}81 \text{ m/s}^2}{0{,}0024 \text{ kg/m}}} = 45{,}2 \text{ m/s}$$

Svar: b) Uten luftmotstand tar fallet 4,52 s, og farten blir 44,3 m/s. Med luftmotstand tar fallet 0,36 s lenger, og farten er 8,8 m/s lavere. Farten ved bakken er mindre enn terminalfarten 45,2 m/s, slik den må være: ballen nærmer seg terminalfarten, men rekker ikke å nå den på 100 m.

i % 100 er resten når i deles på 100, så i % 100 == 0 er sann for i = 100, 200, 300, …

Tall med tierpotens skrives med e: 3.0e-3 betyr $3{,}0 \cdot 10^{-3}$, og {k:.1e} skriver ut k på samme form med én desimal.

g = 9.81        # m/s^2
m = 0.00080     # masse i kg
dt = 0.001      # tidssteg i s
malt = [0.05, 0.14, 0.27, 0.39, 0.52, 0.64, 0.76, 0.89, 1.02, 1.14]   # s i m, hvert 0,1 s

for k in [3.0e-3, 4.0e-3, 5.0e-3, 6.0e-3, 7.0e-3]:
    v = 0.0
    s = 0.0
    modell = []
    for i in range(1, 1001):         # 1000 steg = 1,0 s
        a = g - k * v**2 / m
        v = v + a * dt
        s = s + v * dt
        if i % 100 == 0:             # lagre hvert 0,1 s
            modell.append(s)
    sum_avvik = 0.0
    for j in range(len(malt)):
        sum_avvik = sum_avvik + (modell[j] - malt[j])**2
    print(f"k = {k:.1e}: sum = {sum_avvik:.4f} m^2")

Utskrift:

k = 3.0e-03: sum = 0.2746 m^2
k = 4.0e-03: sum = 0.0488 m^2
k = 5.0e-03: sum = 0.0002 m^2
k = 6.0e-03: sum = 0.0260 m^2
k = 7.0e-03: sum = 0.0854 m^2

Svar: a) $k = 5{,}0 \cdot 10^{-3}$ kg/m gir klart minst sum av kvadrerte avvik.

b) Fra 0,5 s til 1,0 s øker $s$ jevnt, så formen faller med terminalfarten:

$$v_t = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{1{,}14 \text{ m} - 0{,}52 \text{ m}}{1{,}0 \text{ s} - 0{,}5 \text{ s}} = 1{,}24 \text{ m/s}$$

$$k = \frac{mg}{v_t^2} = \frac{0{,}00080 \text{ kg} \cdot 9{,}81 \text{ m/s}^2}{(1{,}24 \text{ m/s})^2} = 5{,}1 \cdot 10^{-3} \text{ kg/m}$$

Svar: b) $v_t = 1{,}24$ m/s, som gir $k = 5{,}1 \cdot 10^{-3}$ kg/m. Det stemmer med a).

c)

$$s = \tfrac{1}{2}gt^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 9{,}81 \text{ m/s}^2 \cdot (1{,}0 \text{ s})^2 = 4{,}9 \text{ m}$$

Svar: c) 4,9 m, mer enn fire ganger så langt som målt. Luftmotstanden er avgjørende for en muffinsform. Modellen med $L = kv^2$ og $k = 5{,}0 \cdot 10^{-3}$ kg/m treffer alle målingene innenfor 1 cm, så den beskriver dette fallet godt.