1.9 Signalbehandling og filtre

Skjult musikk i en ledning

Når du synger inn i en mikrofon, skjer noe nesten magisk: stemmen din -- luftens svingninger -- blir til en spenning som vingler opp og ned i takt med lyden. Det er et signal. Og et signal er rett og slett en varierende elektrisk spenning eller strøm som bærer informasjon, enten det er lyd fra en mikrofon, en temperaturmåling fra en sensor, eller en strøm av digitale data.

Men rådata er sjelden rene. Stemmen din kommer med susing, brumming og forstyrrelser. Signalbehandling handler om å manipulere disse signalene for å få det resultatet vi vil ha -- fjerne støy, forsterke det svake, konvertere mellom analog og digital, eller komprimere informasjonen. I dette kapittelet skal vi lære oss kunsten å forme signaler. Vi skal forstå hva frekvens egentlig er, oppdage at ethvert signal er bygd opp av rene sinusbølger, og lære å bygge filtre som slipper gjennom akkurat de frekvensene vi ønsker og demper resten. Til slutt skal vi se hvordan profesjonelle filtre skreddersys for ulike oppgaver.

Frekvens, spektrum og signalets to ansikter

La oss begynne med å skille de to typene signaler. Et analogt signal varierer kontinuerlig i både tid og verdi -- som lydbølger eller spenningen fra en temperatursensor, med uendelig mange mulige verdier. Et digitalt signal har derimot diskrete verdier, vanligvis bare 0 og 1, og samples med en fast frekvens, slik som USB-data eller digital lyd.

Nøkkelbegrepet i hele signalbehandlingen er frekvens. Den måles i hertz (Hz) og forteller hvor mange svingninger signalet gjør per sekund. Tiden for én svingning kalles perioden, og henger sammen med frekvensen gjennom $T = 1/f$. Jo høyere frekvens, jo raskere svinger signalet. Hørbar lyd ligger mellom 20 Hz og 20 kHz, FM-radio rundt 88-108 MHz, og Wi-Fi på 2,4 og 5 GHz.

Nå kommer en av elektronikkens vakreste innsikter. Matematikeren Joseph Fourier viste at alle signaler kan deles opp i en sum av rene sinusbølger med ulike frekvenser. Dette kalles frekvensspekteret, og det vises gjerne med frekvens langs x-aksen og amplitude langs y-aksen. En ren sinustone har bare én topp i spekteret, mens en firkantbølge avslører mange topper -- en grunnfrekvens pluss en hel rekke harmoniske. Området av frekvenser et signal bruker, kaller vi båndbredde: en telefon klarer seg med 300-3400 Hz, mens CD-lyd dekker hele det hørbare 20 Hz til 20 kHz.

Å sile frekvenser -- de passive filtrene

Nå som vi vet at et signal består av mange frekvenser, kan vi gjøre noe nyttig: silе vekk de vi ikke vil ha. Det er nettopp det et filter gjør. De enkleste er passive filtre, som klarer seg med bare motstander, kondensatorer og spoler -- ingen transistorer eller forsterkere.

Ta et RC-lavpassfilter. Det slipper gjennom lave frekvenser og demper de høye. Du bygger det med en motstand $R$ i serie og en kondensator $C$ parallelt til jord. Den avgjørende verdien er grensefrekvensen, der filteret begynner å virke for alvor:

$$f_c = \frac{1}{2\pi R C}$$

Ved nettopp grensefrekvensen er signalet dempet med 3 dB, altså til rundt 70 prosent av opprinnelig amplitude. La oss regne: med $R = 10\text{ k}\Omega$ og $C = 100\text{ nF}$ får vi $\displaystyle f_c = \frac{1}{2\pi \cdot 10000 \cdot 0{,}0000001} \approx 159$ Hz, så alt over 159 Hz dempes gradvis.

Bytter vi om på rekkefølgen -- kondensator i serie, motstand til jord -- får vi et RC-høypassfilter som gjør det motsatte: slipper gjennom høye frekvenser og demper lave. Formelen for grensefrekvensen er nøyaktig den samme. Bruksområdene er forskjellige: lavpassfilteret fjerner høyfrekvent støy, for eksempel fra en sensormåling. Høypassfilteret fjerner uønsket DC-offset eller lavfrekvent rumling fra et lydsignal. Vi kan også regne baklengs: skal vi lage et lavpassfilter med $f_c = 500$ Hz og har en 10 nF-kondensator, løser vi for $\displaystyle R = \frac{1}{2\pi \cdot 500 \cdot 10 \cdot 10^{-9}} \approx 31{,}8\text{ k}\Omega$, og velger nærmeste standardverdi 33 kΩ.

Når filteret skal bli skarpere

De passive filtrene er fine, men de har grenser. Vil du forsterke signalet samtidig som du filtrerer, eller ha en skarpere overgang, trenger du aktive filtre. De bruker en operasjonsforsterker -- en op-amp -- i tillegg til de passive komponentene. Da kan filteret både forsterke signalet og få bedre egenskaper, som høyere Q-faktor for skarpere filtrering. Prisen er at det krever en strømforsyning.

Hvor bratt et filter demper etter grensefrekvensen, bestemmes av filterordenen. Et førsteordens filter demper med $-20$ dB per dekade -- det vil si per tigangs økning i frekvens. Et andreordens filter demper dobbelt så bratt, $-40$ dB per dekade, og generelt gir et $N$-te ordens filter $-20 \times N$ dB per dekade. La oss regne: et andreordens lavpassfilter med grensefrekvens 1 kHz -- hvor mye dempes signalet ved 10 kHz? Det er én dekade over grensa, så ved $-40$ dB per dekade blir dempningen rundt 40 dB, altså bare 1 prosent av amplituden igjen. Høyere orden gir altså brattere overgang, men også mer kompleks krets.

Filtre kommer også i ulike «smaker» med ulike egenskaper. Butterworth har et så flatt passband som mulig, uten rippel, og moderat bratthet -- det allsidige standardvalget. Chebyshev gir brattere overgang, men til gjengjeld litt rippel i passbandet, og brukes når en skarp avskjæring er viktigst. Bessel har den beste faseresponsen, med lineær fase som bevarer signalformen -- ideelt for pulssignaler -- men en mildere overgang. Til slutt kan vi kombinere lavpass og høypass til et båndpassfilter, som slipper gjennom et bestemt frekvensområde, eller et båndstoppfilter (notch), som blokkerer ett uønsket område, for eksempel 50 Hz nettbrumming.

Oppsummering

Vi har lært å forme elektriske signaler. Et signal er en varierende spenning som bærer informasjon, og kan være analogt (kontinuerlig) eller digitalt (diskret). Nøkkelen er frekvens, målt i hertz, med periode $T = 1/f$. Fouriers innsikt var at ethvert signal kan deles opp i et frekvensspekter av rene sinusbølger.

For å sile frekvenser bygde vi passive filtre: et RC-lavpassfilter slipper gjennom lave frekvenser, et høypassfilter de høye, begge med grensefrekvens $\displaystyle f_c = \frac{1}{2\pi R C}$ der signalet er dempet 3 dB. Aktive filtre med op-amp gir forsterkning og skarpere filtrering, og filterordenen styrer bratthet med $-20 \times N$ dB per dekade. Til slutt møtte vi filtertypene Butterworth (flat), Chebyshev (skarp med rippel) og Bessel (lineær fase), samt båndpass- og båndstoppfiltre. Med disse verktøyene kan du fjerne støy, bevare det viktige, og temme et hvilket som helst signal.