7.5 Cobb-Douglas og økonomiske anvendelser

En funksjon med en historie

I 1928 satte økonomen Paul Douglas og matematikeren Charles Cobb seg fore å beskrive amerikansk industriproduksjon med én enkel formel. Resultatet, Cobb-Douglas produktfunksjonen, har siden vært en bærebjelke i økonomisk modellering. Vi har møtt den i tidligere kapitler; nå samler vi alle de viktige egenskapene på ett sted.

Funksjonen har formen $Q(K,L)=AK^{\alpha}L^{\beta}$, der $A>0$ er en teknologi-konstant som måler den generelle produktiviteten, og $\alpha,\beta>0$ er eksponenter. $K>0$ er kapital og $L>0$ arbeidskraft. Samme form brukes for nytte, $U(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta}$.

Hvorfor kaller vi $\alpha$ og $\beta$ for elastisiteter? Produksjonselastisiteten av kapital er $\varepsilon_K=\dfrac{K}{Q}\cdot\dfrac{\partial Q}{\partial K}$. Setter vi inn $Q_K=\alpha AK^{\alpha-1}L^{\beta}$, får vi $\varepsilon_K=\dfrac{K}{AK^{\alpha}L^{\beta}}\cdot\alpha AK^{\alpha-1}L^{\beta}=\alpha$. Eksponenten er elastisiteten, og den er konstant: en 1 % økning i kapital gir alltid en $\alpha$ % økning i produksjon, uansett nivå. Det samme gjelder $\beta$ for arbeidskraft -- en av Cobb-Douglas' aller viktigste egenskaper.

Skalaavkastning -- hva skjer når vi blåser opp alt?

Et sentralt spørsmål er hva som skjer når vi skalerer begge innsatsfaktorer med samme faktor $t>0$. For Cobb-Douglas gjelder $Q(tK,tL)=A(tK)^{\alpha}(tL)^{\beta}=t^{\alpha+\beta}\,AK^{\alpha}L^{\beta}=t^{\alpha+\beta}Q(K,L)$. Summen av eksponentene styrer alt.

Er $\alpha+\beta=1$, har vi konstant skalaavkastning (CRS): dobler vi innsatsen, dobles produksjonen. Er $\alpha+\beta>1$, har vi økende skalaavkastning (IRS), og er $\alpha+\beta<1$, avtakende skalaavkastning (DRS). La oss klassifisere tre tilfeller. For $Q=10K^{0{,}5}L^{0{,}5}$ er $\alpha+\beta=1$ -- konstant. For $Q=4K^{0{,}4}L^{0{,}5}$ er summen $0{,}9<1$ -- avtakende; en dobling gir bare faktoren $2^{0{,}9}\approx 1{,}87$. For $Q=2K^{0{,}6}L^{0{,}5}$ er summen $1{,}1>1$ -- økende; en dobling gir $2^{1{,}1}\approx 2{,}14$.

Dette begrepet er nært knyttet til homogene funksjoner. En funksjon er homogen av grad $n$ dersom $f(tx,ty)=t^n f(x,y)$ for alle $t>0$. Cobb-Douglas $Q=AK^{\alpha}L^{\beta}$ er nettopp homogen av grad $\alpha+\beta$. Et eksempel: $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ er homogen av grad $2$, mens $f(x,y)=x+2y+3$ ikke er homogen i det hele tatt -- konstantleddet $3$ ødelegger egenskapen.

Grensesubstitusjonsraten og Eulers teorem

Hvor mye av ett gode er en konsument villig til å gi opp for én ekstra enhet av et annet, uten å bli mindre fornøyd? Svaret er grensesubstitusjonsraten, $\text{MRS}_{xy}=\dfrac{f_x}{f_y}$. Geometrisk er den den absolutte verdien av stigningstallet til indifferenskurven. For Cobb-Douglas $U=Ax^{\alpha}y^{\beta}$ blir $\text{MRS}_{xy}=\dfrac{\alpha y}{\beta x}$ -- den avhenger bare av forholdet $y/x$, ikke av nivåene. Når $x$ øker langs indifferenskurven, avtar MRS; vi snakker om avtakende grensesubstitusjonsrate.

La oss regne på $U(x,y)=x^{0{,}4}y^{0{,}6}$ i punktet $(10,20)$. Her er $\text{MRS}=\dfrac{0{,}4}{0{,}6}\cdot\dfrac{y}{x}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{20}{10}=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}33$ -- konsumenten gir opp ca. 1,33 enheter $y$ for én ekstra $x$. I optimum (fra Lagrange) er MRS lik prisforholdet: $\text{MRS}_{xy}=\dfrac{p_x}{p_y}$. Dette gir en herlig snarvei -- andelsregelen: for $U=x^a y^b$ bruker konsumenten andelen $\tfrac{a}{a+b}$ av inntekten på $x$ og $\tfrac{b}{a+b}$ på $y$. For $U=x^2 y$ med $m=60$, $p_x=5$, $p_y=4$ blir $p_x x=\tfrac{2}{3}\cdot 60=40\Rightarrow x=8$ og $p_y y=20\Rightarrow y=5$.

Til slutt et elegant resultat. Eulers teorem sier at hvis $f$ er homogen av grad $n$, så er $xf_x+yf_y=nf$. For Cobb-Douglas med $\alpha+\beta=n$ betyr det $KQ_K+LQ_L=nQ$. Ved konstant skalaavkastning ($n=1$) blir hele produksjonen fullstendig fordelt på innsatsfaktorene betalt etter marginalproduktet: $KQ_K+LQ_L=Q$. Det gir et teoretisk fundament for at lønn og kapitalavkastning til sammen kan bruke opp akkurat all verdiskaping.

Oppsummering

Cobb-Douglas-funksjonen $Q(K,L)=AK^{\alpha}L^{\beta}$ er økonomiens arbeidshest. Eksponentene $\alpha$ og $\beta$ er produksjonselastisiteter -- konstante prosentvise responser i produksjonen på endringer i innsatsfaktorene. Summen $\alpha+\beta$ avgjør skalaavkastningen: $=1$ konstant, $>1$ økende, $<1$ avtakende. Dette henger sammen med at funksjonen er homogen av grad $\alpha+\beta$, og at $Q(tK,tL)=t^{\alpha+\beta}Q$.

Grensesubstitusjonsraten $\text{MRS}=\dfrac{f_x}{f_y}=\dfrac{\alpha y}{\beta x}$ måler hvor mye av ett gode vi vil bytte mot et annet, og i optimum er den lik prisforholdet $p_x/p_y$. For Cobb-Douglas gir det den praktiske andelsregelen for hvordan inntekten fordeles. Cobb-Douglas-goder er alltid komplementære ($U_{xy}>0$). Til slutt knytter Eulers teorem $KQ_K+LQ_L=(\alpha+\beta)Q$ marginalproduktene til hele produksjonen -- ved konstant skalaavkastning fordeles all verdiskaping fullstendig på innsatsfaktorene. Med dette har vi en komplett verktøykasse for å analysere produksjon og forbruk i to variabler.