5.8 Konveksitet og konkavitet

Smiler eller surmuler kurven?

To funksjoner kan begge stige, men ha helt ulik form. Den ene buer oppover som et smil, den andre buer nedover som en grimase. Denne forskjellen i krumning har et navn: en funksjon som krummer oppover ($\cup$) er konveks -- den «smiler» -- mens en som krummer nedover ($\cap$) er konkav -- den «surmuler». Det høres kanskje ut som ren geometri, men i økonomi avgjør krumningen avgjørende ting: konkave nyttefunksjoner forklarer hvorfor folk er risikoaverse, konvekse kostnadsfunksjoner forklarer hvorfor produksjon blir dyrere i marginen, og konkave produksjonsfunksjoner forklarer avtakende grenseproduktivitet.

Det vakre er at vi kan avgjøre krumningen med ett tall: den andrederiverte. Andrederiverttesten sier at hvis $f''(x) > 0$ på et intervall, er $f$ konveks der, og hvis $f''(x) < 0$, er $f$ konkav. Intuisjonen er fin: $f''$ måler hvordan stigningen $f'$ endrer seg. Når $f'' > 0$ blir stigningen mer og mer positiv, så grafen presser oppover -- det klassiske smilet. Når $f'' < 0$ avtar stigningen, og grafen bøyer nedover.

Huskeregelen er like enkel: pluss er smil. Er $f''$ positiv, smiler funksjonen ($\cup$); er den negativ, surmuler den ($\cap$).

Tre klassiske eksempler og vendepunkter

La oss teste regelen på de viktigste funksjonene. For $f(x) = x^2$ er $f'(x) = 2x$ og $f''(x) = 2$. Siden $2 > 0$ for alle $x$, er $x^2$ konveks overalt -- en parabel som åpner oppover. For $f(x) = e^x$ er både førstederivert og andrederivert lik $e^x$, som alltid er positiv, så $e^x$ er også konveks overalt; den vokser stadig raskere, typisk for rentes rente.

Motsetningen er logaritmen. For $f(x) = \ln x$ er $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$ og $\displaystyle f''(x) = -\frac{1}{x^2}$. For alle $x > 0$ er dette negativt, så $\ln x$ er konkav. Den vokser, men stadig saktere -- og hvis dette er en nyttefunksjon for penger, betyr det at hver krone gir mindre ekstra nytte enn den forrige. Det kaller vi avtakende grensenytte.

Mange funksjoner skifter krumning underveis. Et vendepunkt er der $f''$ skifter fortegn -- der funksjonen går fra konveks til konkav eller omvendt. Den nødvendige betingelsen er $f''(a) = 0$, men det er ikke nok: vi må sjekke at fortegnet faktisk skifter. Ta $f(x) = x^3$, med $f''(x) = 6x$. Her er $f''(0) = 0$, og $f''$ skifter fra minus (konkav) til pluss (konveks) ved $x = 0$, så $(0, 0)$ er et vendepunkt. Men advarsel: for $f(x) = x^4$ er $f''(x) = 12x^2$, og selv om $f''(0) = 0$, er $f'' \geq 0$ overalt -- fortegnet skifter aldri, så $x = 0$ er ikke et vendepunkt.

Hvorfor økonomer elsker konkave funksjoner

Krumning er ikke bare tegning -- den gir oss noe svært verdifullt: globale ekstrema. Resultatet er enkelt og kraftig. Hvis $f$ er konveks på et intervall og $f'(a) = 0$, så er $x = a$ et globalt minimum. Og hvis $f$ er konkav og $f'(a) = 0$, så er $x = a$ et globalt maksimum. For en konkav funksjon trenger vi altså bare å finne ett stasjonært punkt -- så vet vi at det er det beste i hele verden. Det er nettopp derfor økonomer elsker konkave funksjoner: de gir entydige løsninger på optimeringsproblemer.

De økonomiske tolkningene er konkrete. En konkav nyttefunksjon som $U(c) = \ln c$ eller $U(c) = \sqrt{c}$ betyr at hver krone gir mindre ekstra nytte enn den forrige -- $U' > 0$, $U'' < 0$. Konsekvensen er risikoaversjon. En investor med nytte $U(c) = \sqrt{c}$ foretrekker en sikker utbetaling på $25$ kroner fremfor et lodd på $0$ eller $50$ kroner med like sannsynlighet, selv om begge har forventet verdi $25$. La oss regne: nytten av det sikre er $U(25) = \sqrt{25} = 5$, mens forventet nytte av loddet er $0{,}5\cdot\sqrt{0} + 0{,}5\cdot\sqrt{50} \approx 0{,}5\cdot 7{,}071 \approx 3{,}54$. Det sikre vinner. Den konkave nyttefunksjonen «straffer» risiko -- og det er nettopp derfor folk kjøper forsikring. Dette er et utslag av Jensens ulikhet: for konkav $U$ er $E[U(X)] \leq U(E[X])$.

Kostnad, produksjon og full drøfting

La oss se de andre økonomiske rollene. En konveks kostnadsfunksjon har $K''(x) > 0$, som betyr at grensekostnaden $K'(x)$ stiger med produksjonen -- stordriftsulemper på marginen. Ta $K(x) = 0{,}5x^2 + 20x + 1000$. Grensekostnaden er $K'(x) = x + 20$, og $K''(x) = 1 > 0$, så $K$ er konveks overalt. Ved $x = 10$ er grensekostnaden $30$ kroner, men ved $x = 100$ har den steget til $120$ kroner. Bedriften møter altså økende marginalkostnad, kanskje fordi den må betale dyr overtid eller bruke mindre effektive maskiner ved høy produksjon.

En konkav produksjonsfunksjon forteller den motsatte historien. En Cobb-Douglas-funksjon $Q = K^\alpha$ med $0 < \alpha < 1$ har $Q'' = \alpha(\alpha - 1)K^{\alpha - 2} < 0$, altså konkav: hver ekstra enhet kapital gir mindre tilleggsproduksjon enn den forrige -- avtakende grenseproduktivitet.

Når vi skal drøfte krumningen til en mer sammensatt funksjon, lager vi et fortegnsskjema for $f''$. Ta $f(x) = x^4 - 6x^2$. Da er $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1)$, som er null ved $x = \pm 1$. Fortegnet til $f''$ er positivt for $|x| > 1$ (konveks) og negativt for $|x| < 1$ (konkav), så funksjonen har to vendepunkter, ved $(-1, -5)$ og $(1, -5)$, siden $f(\pm 1) = 1 - 6 = -5$. Slik kartlegger vi hvor en kurve smiler og hvor den surmuler.

Oppsummering

Krumning skiller funksjoner som ellers ligner. En konveks funksjon ($f'' > 0$) «smiler» ($\cup$) og har voksende stigning; en konkav ($f'' < 0$) «surmuler» ($\cap$) og har avtakende stigning. Huskeregelen er at pluss er smil. Et vendepunkt ligger der $f''$ skifter fortegn -- men $f''(a) = 0$ alene er ikke nok, vi må alltid sjekke fortegnsskiftet, slik $x^4$ minner oss om.

Det kraftigste resultatet er at krumning gir globale ekstrema: en konkav funksjon med $f'(a) = 0$ har globalt maksimum der, en konveks har globalt minimum. Økonomisk forteller konkav nytte om risikoaversjon -- derfor kjøper folk forsikring -- konveks kostnad om økende grensekostnad, og konkav produksjon om avtakende grenseproduktivitet. Med fortegnsskjema for $f''$ kan vi kartlegge nøyaktig hvor en kurve smiler og hvor den surmuler. Dermed er hele kalkulus-verktøykassen for kapittel 5 komplett.