5.7 L'Hôpitals regel og grenseverdier

Hva nærmer funksjonen seg?

En grenseverdi beskriver hva en funksjon nærmer seg når variabelen $x$ kryper mot en verdi $a$ -- eller mot $\pm\infty$. Vi skriver $\lim_{x\to a} f(x) = L$ og leser det «$f(x)$ går mot $L$ når $x$ går mot $a$». For de fleste snille funksjoner kan vi bare sette inn: $\lim_{x\to 2} x^2 = 4$. Men noen ganger gir innsetting noe meningsløst som $\displaystyle \frac{0}{0}$ eller $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$. Da har vi en ubestemt form, og vi trenger et skarpere verktøy.

Grenseverdier er ikke bare teknisk gymnastikk. De ligger bak selve definisjonen av den deriverte, $\displaystyle f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, og bak formelen for kontinuerlig forrentning. De lar oss også sammenligne hvor raskt ulike størrelser vokser -- noe som er helt sentralt i finans.

Noen standardgrenser bør du kjenne uten å regne. For $n > 0$ er $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^n} = 0$. Eksponentialfunksjonen eksploderer: $\lim_{x\to\infty} e^x = \infty$, mens $\lim_{x\to-\infty} e^x = 0$. Logaritmen vokser, men sakte: $\lim_{x\to\infty}\ln x = \infty$. Og to spesielt viktige er $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$ og $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ -- begge ubestemte former $\displaystyle \frac{0}{0}$ som likevel har en pen verdi.

L'Hôpitals regel

Den viktigste teknikken for ubestemte former heter L'Hôpitals regel. Anta at $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ gir formen $\displaystyle \frac{0}{0}$ eller $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$. Da er

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

forutsatt at grensen på høyresiden eksisterer. Vi deriverer altså teller og nevner hver for seg. Dette gjelder også når $x\to\pm\infty$.

Vær obs på to ting. For det første er dette ikke kvotientregelen -- vi deriverer ikke brøken som helhet, men teller og nevner separat. For det andre må du alltid sjekke at formen er ubestemt før du bruker regelen. Hvis innsetting gir $\displaystyle \frac{2}{0}$ eller $\displaystyle \frac{0}{3}$, er svaret allerede klart, og L'Hôpital er ulovlig.

La oss bruke den. Først $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{x}$: innsetting gir $\displaystyle \frac{0}{0}$, så regelen er lovlig. Vi deriverer teller til $e^x$ og nevner til $1$, og får $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x}{1} = 1$. Deretter $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}$: form $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$. Deriverer vi, blir det $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = 0$. Logaritmen vokser altså, men mye saktere enn $x$. Et viktig prinsipp: logaritmer vokser tregere enn potenser.

Eksponential dominerer alt

Noen ganger må vi bruke L'Hôpital flere ganger. Ta $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}$, som er $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$. Første runde: deriverer vi, blir det $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^x}$ -- fortsatt $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$. Andre runde: $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^x} = 0$. Hver gang sjekker vi at formen fortsatt er ubestemt før vi deriverer på nytt.

Konklusjonen er slående: $\displaystyle \frac{x^2}{e^x}\to 0$. Og det gjelder generelt -- for ethvert polynom $P(x)$ er $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{e^x} = 0$. Eksponentialvekst overgår enhver polynomvekst, uansett hvor høy graden er. Beviset er enkelt: bruk L'Hôpital like mange ganger som graden, så blir telleren en konstant og nevneren $e^x\to\infty$.

Dette gir oss en rangering av vekstrater for store $x$, fra langsomst til raskest: $\ln x \ll x^a \ll e^{bx}$ for alle $a, b > 0$, der $\ll$ betyr «vokser mye saktere enn». Huskeregelen er enkel: $e^x$ slår alt, og $\ln x$ taper for alt. Den økonomiske konsekvensen er dyp. Hvis én investering vokser eksponentielt og en annen polynomisk, vinner den eksponentielle alltid på lang sikt -- uansett hvor små vekstratene er. Det er nettopp derfor rentes rente er så mektig, og hvorfor en lineær lønnsøkning ikke kan måle seg med en eksponentiell investering over tid.

Andre ubestemte former og Eulers grense

L'Hôpital virker bare på $\displaystyle \frac{0}{0}$ og $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$, men mange andre ubestemte former -- $0\cdot\infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$ -- kan skrives om til en av de to. Triks: en form $0\cdot\infty$ skrives som en brøk, mens potensformer som $1^\infty$ tas logaritmen av.

Ta $\lim_{x\to 0^+} x\ln x$, som er $0\cdot(-\infty)$. Vi skriver om til $\displaystyle \frac{\ln x}{1/x}$, nå $\displaystyle \frac{-\infty}{\infty}$. L'Hôpital gir $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x\to 0^+}(-x) = 0$. Selv om $\ln x \to -\infty$, går $x$ raskere mot null, og produktet kollapser.

Den mest berømte er Eulers grense: $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$, som er formen $1^\infty$. Vi setter $\displaystyle y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ og tar logaritmen: $\displaystyle \ln y = x\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}$. Med substitusjonen $u = 1/x$ blir dette $\displaystyle \lim_{u\to 0^+}\frac{\ln(1+u)}{u} = 1$. Altså $\ln y \to 1$, så $y \to e^1 = e$. Dette er den klassiske definisjonen av $e$, og den forklarer hvorfor $e$ dukker opp i kontinuerlig forrentning: man kan vise at $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt} = e^{rt}$. Bak en uskyldig vekstformel ligger altså en grenseverdi -- og bak grensen ligger L'Hôpitals regel.

Oppsummering

En grenseverdi forteller hva en funksjon nærmer seg. Når direkte innsetting gir en ubestemt form som $\displaystyle \frac{0}{0}$ eller $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$, bruker vi L'Hôpitals regel: $\displaystyle \lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'}$ -- deriver teller og nevner hver for seg. Sjekk alltid at formen virkelig er ubestemt før du bruker regelen, og at den fortsatt er det før du gjentar den.

Gjentatt bruk viste oss det viktigste prinsippet: eksponentialvekst slår alt. Rangeringen $\ln x \ll x^a \ll e^{bx}$ forklarer hvorfor rentes rente er så kraftig på lang sikt. Andre ubestemte former -- $0\cdot\infty$, $1^\infty$ med flere -- skrives om til $\displaystyle \frac{0}{0}$ eller $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$, ofte ved å ta logaritmen, slik vi gjorde for Eulers grense $\lim_{x\to\infty}(1 + 1/x)^x = e$. Grenseverdier er dermed broen mellom kalkulus og finansens vekstmodeller.