5.5 Optimering

Når matematikken treffer beslutninger

Du er bedriftsleder. Du har en overskuddsfunksjon. Hvordan finner du nivået som maksimerer profitten? Optimering er kunsten å forvandle et praktisk valg til et regnestykke. Bak hvert budsjett, hver lagerstrategi og hver pris ligger en optimeringsmodell: maksimer det vi vil ha mye av -- overskudd, inntekt -- eller minimer det vi vil ha lite av -- kostnad, ventetid.

Verktøyene har vi alt. Vi finner stasjonære punkter ved $f'(x) = 0$, klassifiserer dem med $f''$, og leser fortegnsskjema. Et optimeringsproblem har tre deler: en målfunksjon $f(x)$ vi vil maksimere eller minimere, en beslutningsvariabel $x$ vi kan velge, og eventuelle bibetingelser $x$ må oppfylle. Prosessen følger seks trinn: formulér problemet, modellér målfunksjonen som funksjon av én variabel, deriver, løs $f'(x) = 0$, klassifiser, og til slutt -- tolk svaret tilbake til virkeligheten.

Et nyttig snarvei-prinsipp: hvis $f$ er strengt konkav ($f'' < 0$ overalt), har den høyst ett lokalt maksimum, og det er da automatisk globalt. Tilsvarende har en strengt konveks funksjon ($f'' > 0$) ett globalt minimum. Mange økonomiske målfunksjoner er nettopp slike, og det gjør optimeringen trygg og entydig.

Profittmaksimering for en monopolist

La oss ta det klassiske eksempelet. En monopolist møter etterspørselen $p(x) = 100 - 2x$ -- jo mer den selger, desto lavere pris. Kostnaden er $K(x) = 20x + 100$, altså faste kostnader på $100$ kroner og marginalkostnad på $20$ kroner per enhet. Hvor mye bør den selge?

Først modellerer vi. Inntekten er pris ganger mengde: $I(x) = (100 - 2x)\cdot x = 100x - 2x^2$. Profitten er inntekt minus kostnad: $\pi(x) = 100x - 2x^2 - 20x - 100 = -2x^2 + 80x - 100$. Nå deriverer vi og løser: $\pi'(x) = -4x + 80 = 0$ gir $x = 20$. For å klassifisere ser vi at $\pi''(x) = -4 < 0$ overalt -- strengt konkav -- så $x = 20$ er et globalt maksimum.

Vi regner ut: optimal mengde er $20$ enheter, prisen blir $p = 100 - 2\cdot 20 = 60$ kroner, og maksimal profitt er $\pi = -2\cdot 400 + 80\cdot 20 - 100 = -800 + 1600 - 100 = 700$ kroner. Monopolisten holder bevisst mengden lav for å holde prisen oppe. En vakker kontroll: marginalinntekten er $I'(x) = 100 - 4x$, og ved $x = 20$ er $I'(20) = 20 = K'(20)$. Dette er den berømte regelen MR = MC -- maksimal profitt der grenseinntekt møter grensekostnad.

Lager og salgstid -- optimering i hverdagen

Optimering er ikke bare for monopolister. Tenk på et lager. En bedrift selger $D = 1000$ enheter i året. Hver bestilling koster $c = 10$ kroner i administrasjon, og lagerholdskostnaden er $h = 2$ kroner per enhet per år. Hvor mye bør den bestille hver gang? Bestiller den $Q$ av gangen, gjør den $1000/Q$ bestillinger, så bestillingskostnaden blir $\displaystyle \frac{10000}{Q}$. Gjennomsnittslageret er $Q/2$, så lagerkostnaden blir $\displaystyle \frac{2\cdot Q}{2} = Q$. Totalkostnaden er

$$TC(Q) = \frac{10000}{Q} + Q.$$

Vi deriverer: $\displaystyle TC'(Q) = -\frac{10000}{Q^2} + 1 = 0$ gir $Q^2 = 10000$, altså $Q = 100$. Siden $\displaystyle TC''(Q) = \frac{20000}{Q^3} > 0$, er det et minimum. Dette er den berømte EOQ-formelen, $\displaystyle Q^* = \sqrt{\frac{2Dc}{h}}$, og vi kan sjekke: $\displaystyle \sqrt{\frac{2\cdot 1000\cdot 10}{2}} = \sqrt{10000} = 100$.

Et annet hverdagsproblem: når bør du selge noe som stiger i verdi? Si en vinflaske med verdi $V(t) = 100\sqrt{1 + t}$ etter $t$ år, og en diskonteringsrente på $5\,\%$. Nåverdien er $NV(t) = 100\sqrt{1+t}\cdot e^{-0{,}05t}$. Det er enklest å maksimere logaritmen, $\displaystyle L(t) = \ln 100 + \frac{1}{2}\ln(1+t) - 0{,}05t$. Da blir $\displaystyle L'(t) = \frac{1}{2(1+t)} - 0{,}05 = 0$, som gir $\displaystyle 1 + t = \frac{1}{0{,}1} = 10$, altså $t = 9$ år. Betingelsen $\displaystyle L'(t) = \frac{V'}{V} - r = 0$ sier at du skal selge når eiendelens relative vekstrate er lik renten.

Når svaret ligger i et hjørne

Hittil har optimum ligget der $f'(x) = 0$. Men ikke alltid. Forestill deg en bedrift med profitt $\displaystyle \pi(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 30x - 800$, men med en produksjonskapasitet begrenset til $0 \leq x \leq 50$. Det frie maksimum finner vi som vanlig: $\displaystyle \pi'(x) = -\frac{2}{5}x + 30 = 0$ gir $x = 75$. Men $75$ ligger utenfor det tillatte intervallet! Bibetingelsen $x \leq 50$ er bindende.

Når dette skjer, lager vi en kandidatliste: stasjonære punkter inni intervallet pluss endepunktene. Her er det ingen stasjonære punkter mellom $0$ og $50$, så vi sjekker bare endene: $\pi(0) = -800$ (tap) og $\displaystyle \pi(50) = -\frac{1}{5}\cdot 2500 + 30\cdot 50 - 800 = -500 + 1500 - 800 = 200$. Maksimum ligger ved $x = 50$ med profitt $200$ kroner. Profitten stiger hele veien fra $0$ til $75$, så når vi ikke kan produsere mer enn $50$, lønner det seg å kjøre på full kapasitet.

Dette illustrerer ekstremalverdiens teorem: på et lukket, begrenset intervall $[a, b]$ har en kontinuerlig funksjon alltid globalt maksimum og minimum, men de kan ligge i et endepunkt. Generelt sjekker vi en ulikhetsbibetingelse $g(x) \leq c$ slik: løs det frie problemet først. Hvis svaret overholder begrensningen, er den ikke-bindende og vi ignorerer den. Hvis ikke, er den bindende, og vi setter $g(x) = c$. Dette er en enkel forsmak på de såkalte KKT-betingelsene. Den vanligste eksamensfeilen er å skrive «$x = 5$» uten å klassifisere -- husk alltid å bekrefte om det faktisk er maksimum, og å sjekke endepunktene.

Oppsummering

Optimering forvandler beslutninger til regnestykker. Vi identifiserer en målfunksjon, en beslutningsvariabel og eventuelle bibetingelser, skriver alt som funksjon av én variabel, deriverer, løser $f'(x) = 0$, klassifiserer og tolker. Er $f$ strengt konkav, er det ene stasjonære punktet et globalt maksimum; er den strengt konveks, et globalt minimum.

Vi maksimerte en monopolists profitt og gjenfant regelen MR = MC ($x = 20$, profitt $700$). Vi minimerte lagerkostnad med EOQ-formelen $Q^* = \sqrt{2Dc/h} = 100$, og vi fant optimal salgstid der eiendelens relative vekstrate møter renten ($t = 9$ år). Til slutt så vi at optimum ikke alltid ligger der $f'(x) = 0$: på et lukket intervall kan svaret ligge i et endepunkt, og en bindende bibetingelse kan tvinge oss til full kapasitet. Husk alltid å klassifisere og å sjekke endepunktene.