5.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Hvor raskt endrer det seg?

Tenk deg at du driver en liten bedrift, og at kostnadene dine vokser etterhvert som du produserer mer. Det er ikke nok å vite hva kostnaden er -- du vil gjerne vite hvor raskt den stiger. Hvor mye dyrere blir det å lage én enhet til? Vokser en investering fortere i år enn i fjor? Spørsmål om endringsfart er hjertet i hele dette kapittelet, og de leder oss rett inn i derivasjon.

La oss starte enkelt. Si at bedriften har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}1x^2 + 10x + 500$, der $x$ er antall enheter. Vil vi vite hvor mye kostnaden stiger i gjennomsnitt mellom $x = 50$ og $x = 100$, regner vi ut begge verdiene. Vi får $K(50) = 0{,}1\cdot 2500 + 500 + 500 = 1250$ og $K(100) = 0{,}1\cdot 10000 + 1000 + 500 = 2500$. Endringen i kostnad delt på endringen i antall blir $\displaystyle \frac{2500 - 1250}{100 - 50} = \frac{1250}{50} = 25$. Kostnaden øker altså med $25$ kroner per enhet i gjennomsnitt over dette intervallet.

Dette tallet -- $25$ -- kaller vi den gjennomsnittlige vekstfarten. Men det er nettopp et gjennomsnitt: det skjuler at farten kanskje var lavere ved $x = 50$ og høyere ved $x = 100$. For å fange opp hva som skjer akkurat i ett bestemt punkt, trenger vi et skarpere verktøy.

Sekanten og gjennomsnittlig vekstfart

La oss sette ord på det vi nettopp gjorde. For en funksjon $f(x)$ er den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = a$ til $x = b$ gitt ved

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$

Teller er endringen i funksjonsverdi, nevner er endringen i $x$. Geometrisk er dette stigningstallet til sekanten -- den rette linjen som går gjennom de to punktene $(a, f(a))$ og $(b, f(b))$ på grafen. En sekant er rett og slett en linje som skjærer kurven i to punkter, og helningen dens forteller oss den gjennomsnittlige farten mellom dem.

I kostnadseksempelet vårt var sekanten fra $x = 50$ til $x = 100$ en linje med stigningstall $25$. Det betyr at hvis kostnaden hadde vokst helt jevnt over hele strekket, ville den steget med nøyaktig $25$ kroner per enhet hele veien. I virkeligheten buer kurven, så $25$ er bare snittet.

Det fine med denne formelen er at den fungerer for hva som helst: omsetning over et kvartal, befolkning over et tiår, temperatur over en time. Du måler hvor mye størrelsen endrer seg, deler på hvor langt du beveget deg langs $x$-aksen, og får den gjennomsnittlige endringsfarten. Men gjennomsnitt er som sagt grovt. Hva om vi vil vite farten i ett presist øyeblikk -- akkurat ved $x = 50$? Da må vi la de to punktene gli sammen.

Momentan vekstfart og den deriverte

Forestill deg at vi holder det første punktet fast ved $x = a$, og lar det andre punktet snike seg nærmere og nærmere. Avstanden mellom dem kaller vi $h$, så det andre punktet ligger ved $x = a + h$. Sekantens stigningstall blir da

$$\frac{f(a + h) - f(a)}{h}.$$

Når $h$ krymper mot null, dreier sekanten seg gradvis til den så vidt berører kurven i ett eneste punkt. Da har den blitt en tangent. Verdien sekantens stigningstall nærmer seg, kaller vi en grenseverdi, og vi skriver

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}.$$

Dette er den deriverte av $f$ i punktet $x = a$, og den måler den momentane vekstfarten -- farten akkurat der, ikke et gjennomsnitt. Geometrisk er $f'(a)$ stigningstallet til tangenten.

La oss regne ut $f'(2)$ for $f(x) = x^2$ rett fra definisjonen. Vi setter inn: $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 - 4}{h}$. Vi utvider $(2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$, så telleren blir $4h + h^2$. Da har vi $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(4 + h)}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4$. Altså er $f'(2) = 4$: tangenten til $x^2$ ved $x = 2$ stiger med $4$.

I økonomi har den deriverte navn vi kommer til å bruke ofte. $K'(x)$ er grensekostnaden -- kostnaden ved å lage én enhet til. $I'(x)$ er grenseinntekten, inntekten fra én enhet til. Og når vi senere kjenner tangentens stigning, kan vi til og med skrive tangentlinjen i $x = a$ som $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Oppsummering

Vi startet med et praktisk spørsmål: hvor raskt endrer noe seg? Den gjennomsnittlige vekstfarten mellom $x = a$ og $x = b$ er $\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, og den er stigningstallet til sekanten gjennom de to punktene. Det gir et nyttig overblikk, men skjuler variasjonen underveis.

Lar vi det ene punktet gli mot det andre -- altså $h \to 0$ -- forvandles sekanten til en tangent, og vi får den momentane vekstfarten, eller den deriverte: $\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$. Den måler farten i ett bestemt øyeblikk og er stigningstallet til tangenten der. Vi regnet ut at $(x^2)' = 2x$ direkte fra definisjonen, slik at $f'(2) = 4$.

I økonomi er den deriverte uvurderlig: $K'(x)$ er grensekostnad og $I'(x)$ er grenseinntekt. Å regne den deriverte fra definisjonen hver gang er tungvint, så i neste kapittel møter vi derivasjonsreglene som gjør jobben på sekunder.