4.6 Kontinuerlig forrentning

Hva om renten beregnes hvert sekund?

I kapittel 4.1 lærte vi at sluttverdien med $m$ renteperioder per år er $\displaystyle K_t = K_0\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt}$. Og vi så at jo oftere renten beregnes -- månedlig, daglig, hvert sekund -- desto mer vokser pengene. Men her kommer et overraskende spørsmål: hvis vi forrenter uendelig ofte, vokser da kapitalen i det uendelige?

Svaret er nei. Beløpet vokser, men det nærmer seg en bestemt grenseverdi når $m \to \infty$. Denne grensen kaller vi kontinuerlig forrentning, og den er ikke bare en kuriositet -- den er standardformen i hele moderne finansteori. Den brukes i opsjonsprising (Black–Scholes-modellen), i prising av obligasjoner, og i akademiske artikler.

La oss finne grensen. Vi bruker et lite triks: sett $n = m/r$, slik at $\displaystyle \frac{r}{m} = \frac{1}{n}$ og $mt = rnt$. Da blir $\displaystyle \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt} = \left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^{rt}$. Og her møter vi en klassisk grenseverdi: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2{,}71828$. Dette tallet kalles Eulers tall, og det dukker opp overalt i matematikk og naturvitenskap. Setter vi det inn, får vi $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt} = e^{rt}$.

Formelen og hvor raskt den slår inn

Vi har nå utledet hovedformelen. Når kapitalen $K_0$ forrentes kontinuerlig med årlig rente $r$, er sluttverdien etter $t$ år $K_t = K_0\,e^{rt}$, der $e \approx 2{,}71828$, $r$ er renten som desimaltall og $t$ er tiden i år (gjerne et brøktall). Dette er rett og slett grensetilfellet av periodisk forrentning når antall perioder går mot uendelig.

Hvor mye gjør egentlig kontinuerlig forrentning av forskjell? Ta én krone i ett år med $5\%$ rente. Årlig forrentning gir $1{,}050000$, halvårlig $1{,}050625$, månedlig $1{,}051162$, daglig $1{,}051267$ -- og kontinuerlig $e^{0{,}05} = 1{,}051271$. Forskjellen mellom daglig og kontinuerlig er under $0{,}0001$ prosentpoeng. For en moderat rente er kontinuerlig forrentning i praksis det samme som daglig.

La oss prøve formelen over lengre tid. Du setter $100\,000$ kr inn til $4\%$ kontinuerlig rente i $10$ år: $K_{10} = 100\,000\cdot e^{0{,}04\cdot 10} = 100\,000\cdot e^{0{,}4} \approx 100\,000\cdot 1{,}49182 = 149\,182$ kr. Med vanlig årlig forrentning ville du fått $100\,000\cdot(1{,}04)^{10} = 148\,024$ kr. Kontinuerlig forrentning ga deg altså $1\,158$ kr mer over $10$ år -- en merkbar, men ikke dramatisk forskjell.

Nåverdi og effektiv rente

Snur vi formelen, kan vi spørre: hvor mye må vi sette inn i dag for å ha $K_t$ kroner om $t$ år? Vi løser $K_t = K_0\,e^{rt}$ for $K_0$ og får $\text{NV} = K_t\,e^{-rt}$. Faktoren $e^{-rt}$ er diskonteringsfaktoren med kontinuerlig rente. Blir du lovet $500\,000$ kr om $6$ år, med $3\%$ kontinuerlig diskonteringsrente, er nåverdien $\text{NV} = 500\,000\cdot e^{-0{,}03\cdot 6} = 500\,000\cdot e^{-0{,}18} \approx 500\,000\cdot 0{,}83527 = 417\,635$ kr. Du burde altså være likegyldig mellom $417\,635$ kr i dag og $500\,000$ kr om $6$ år.

Men den kontinuerlige renten $r$ er nominell -- den forteller ikke direkte hvor mye kapitalen faktisk vokser på et år. Den ekte årlige veksten er den effektive renten, som vi finner ved å sammenligne sluttverdien etter ett år med starten: $1 + r_{eff} = e^r$, altså $r_{eff} = e^r - 1$. Tilbyr en bank $5\%$ kontinuerlig rente, blir $r_{eff} = e^{0{,}05} - 1 \approx 0{,}05127 = 5{,}127\%$ -- litt mer enn de $5\%$. Til sammenligning gir $5\%$ med daglig forrentning $(1 + 0{,}05/365)^{365} - 1 \approx 5{,}127\%$, altså praktisk talt identisk.

Vil du gå motsatt vei, fra en kjent effektiv rente til den tilsvarende kontinuerlige, snur du formelen: $r = \ln(1 + r_{eff})$. Er effektiv rente $6\%$, blir den kontinuerlige $r = \ln(1{,}06) \approx 0{,}05827 = 5{,}827\%$. Legg merke til at den kontinuerlige renten alltid er litt lavere enn den effektive. Og en advarsel verdt å ta med seg: nominell rente må alltid kombineres med en frekvens $m$ (eller $\infty$), mens effektiv rente allerede er den årlige veksten og skal ikke kombineres med noen frekvens. Sjekk alltid hvilken type rente du er oppgitt før du regner.

Når dobles kapitalen? 70-regelen

Et naturlig spørsmål: hvor lang tid tar det å doble pengene ved kontinuerlig forrentning? Vi setter $K_t = 2K_0$ og løser: $2K_0 = K_0\,e^{rt}$, altså $e^{rt} = 2$. Tar vi naturlig logaritme på begge sider, får vi $rt = \ln 2$, og dermed $\displaystyle t_{dobling} = \frac{\ln 2}{r}$. Med $6\%$ kontinuerlig rente blir doblingstiden $\displaystyle \frac{\ln 2}{0{,}06} = \frac{0{,}6931}{0{,}06} \approx 11{,}55$ år.

Dette gir en pen tommelfingerregel. Siden $\ln 2 \approx 0{,}693 \approx 0{,}70$, kan vi anslå doblingstiden som $\displaystyle t_{dobling} \approx \frac{70}{r\cdot 100}$. Dette er 70-regelen, og den er den naturlige tilnærmingen nettopp for kontinuerlig forrentning. For vanlig diskret (årlig) forrentning passer 72-regelen litt bedre -- og $72$ har dessuten flere divisorer ($2, 3, 4, 6, 8, 9, 12$), som gjør hoderegningen enklere.

Med dette har vi hele verktøykassen for kontinuerlig forrentning: sluttverdi $K_t = K_0\,e^{rt}$, nåverdi $\text{NV} = K_t\,e^{-rt}$, effektiv rente $r_{eff} = e^r - 1$, konvertering $r = \ln(1 + r_{eff})$ og doblingstid $\displaystyle \frac{\ln 2}{r}$. To ting er verdt å huske til slutt: forskjellen mellom daglig og kontinuerlig forrentning er ubetydelig i praksis, og likevel er det den kontinuerlige formelen $e^{rt}$ som er standard i finansteori -- rett og slett fordi den er enklest å regne med, samtidig som svaret blir praktisk talt det samme.

Oppsummering

Kontinuerlig forrentning er grensetilfellet når antall renteperioder per år går mot uendelig. Da dukker Eulers tall $e \approx 2{,}71828$ opp gjennom grenseverdien $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt} = e^{rt}$, og vi får sluttverdien $K_t = K_0\,e^{rt}$.

Snur vi formelen, diskonterer vi en framtidig verdi til i dag med $\text{NV} = K_t\,e^{-rt}$. Den faktiske årlige veksten er den effektive renten $r_{eff} = e^r - 1$, alltid litt høyere enn den nominelle kontinuerlige renten, og vi går motsatt vei med $r = \ln(1 + r_{eff})$. Doblingstiden er $\displaystyle \frac{\ln 2}{r}$, som gir den naturlige 70-regelen. I praksis er kontinuerlig forrentning nesten identisk med daglig forrentning -- men fordi formelen $e^{rt}$ er enklere å regne med, er den standard i finansteori som Black–Scholes og obligasjonsprising.