4.5 Investeringsanalyse | Matematikk for økonomer

Lønner det seg å investere?

En bedrift står overfor et valg: skal vi kjøpe den nye maskinen eller ikke? Den koster mye nå, men lover inntekter i årene framover. Hvordan vet vi om regnestykket går opp? Det er nettopp dette investeringsanalyse handler om, og de tre viktigste verktøyene er netto nåverdi (NPV), internrente (IRR) og tilbakebetalingstid.

Vi starter med det kraftigste: netto nåverdi. NPV er summen av nåverdiene til alle kontantstrømmene, inkludert investeringen vi gjør i starten: $\displaystyle NPV = -I_0 + \sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1 + r)^t}$ , der $I_0$ er den initiale investeringen, $CF_t$ er kontantstrømmen i periode $t$ , $r$ er avkastningskravet og $n$ er prosjektets levetid. Tanken er at vi diskonterer alle framtidige inntekter tilbake til i dag og ser om de overgår kostnaden.

Beslutningsregelen er like enkel som den er mektig: er $NPV > 0$ skaper investeringen verdi, og vi sier ja. Er $NPV < 0$ ødelegger den verdi, og vi sier nei. Er $NPV = 0$ gir prosjektet akkurat avkastningskravet, verken mer eller mindre.

NPV og internrente i praksis

La oss ta et konkret eksempel. En bedrift vurderer en maskin til $500\,000$ kr som gir $150\,000$ , $200\,000$ , $200\,000$ og $150\,000$ kr de fire neste årene. Avkastningskravet er $10\%$ . Da blir $\displaystyle NPV = -500\,000 + \frac{150\,000}{1{,}10} + \frac{200\,000}{1{,}21} + \frac{200\,000}{1{,}331} + \frac{150\,000}{1{,}4641} = -500\,000 + 554\,368 = 54\,368$ kr. NPV er positiv, så bedriften bør investere -- prosjektet skaper $54\,368$ kr i verdi utover de $10\%$ den allerede krever.

Et nært beslektet mål er internrenten (IRR). Den er den diskonteringsrenten som gjør at $NPV = 0$ , og den forteller prosjektets faktiske avkastning. Vi løser altså $\displaystyle -I_0 + \sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1+r)^t} = 0$ for $r$ . Beslutningsregelen blir: er IRR større enn avkastningskravet, aksepter; er den lavere, avvis.

IRR må som regel finnes ved prøving og feiling, eller med kalkulator. Si at en investering på $100\,000$ kr gir $60\,000$ kr etter ett år og $60\,000$ kr etter to år. Prøver vi $r = 10\%$ får vi $NPV = 4\,132$ kr (litt for høyt), ved $r = 15\%$ får vi $-2\,457$ kr (for lavt), og ved $r = 13\%$ er vi nesten på null. Internrenten er altså $\approx 13{,}1\%$ . Er avkastningskravet $10\%$ , ligger IRR godt over, og investeringen aksepteres. I praksis bruker man gjerne Excel: $\texttt{=IR(...)}$ for internrente og $\texttt{=NNV(...)}$ for nåverdi.

Tilbakebetalingstid og usikkerhet

En enklere, men mer intuitiv metode er tilbakebetalingstiden: hvor lang tid tar det før investeringen er «tjent inn», altså før de samlede kontantstrømmene dekker den initiale kostnaden? Ved like årlige kontantstrømmer regner vi det enkelt som $\displaystyle \frac{I_0}{\text{årlig kontantstrøm}}$ . En investering på $400\,000$ kr som gir $120\,000$ kr i året har en tilbakebetalingstid på $\displaystyle \frac{400\,000}{120\,000} = 3{,}33$ år, altså rundt $3$ år og $4$ måneder.

Metoden er populær fordi den er lett å forstå, men den har to svakheter. Den ignorerer tidsverdien av penger (med mindre vi bruker en diskontert variant der kontantstrømmene diskonteres først), og den ser fullstendig bort fra alt som skjer etter at investeringen er tjent inn. Et prosjekt med kort tilbakebetalingstid, men dårlige inntekter deretter, kan se bedre ut enn det egentlig er. Derfor regnes NPV som den teoretisk beste metoden.

Et siste, viktig poeng: i virkeligheten er framtidige kontantstrømmer alltid usikre. Da bruker vi sensitivitetsanalyse for å teste hvor robust konklusjonen er. Vi spør: hva skjer med NPV hvis inntektene blir $10\%$ lavere enn antatt? Hva om renten stiger med $2$ prosentpoeng? Hvilket salgsvolum gir break-even? Slik finner vi ut hvor mye forutsetningene kan svikte før et lønnsomt prosjekt vipper over til å bli ulønnsomt -- og det gir et langt tryggere beslutningsgrunnlag enn ett enkelt tall.

Oppsummering

Investeringsanalyse handler om å avgjøre om et prosjekt lønner seg. Den teoretisk beste metoden er netto nåverdi: $\displaystyle NPV = -I_0 + \sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1+r)^t}$ . Aksepter hvis $NPV > 0$ , avvis hvis $NPV < 0$ .

Internrenten (IRR) er renten som gir $NPV = 0$ , altså prosjektets faktiske avkastning; aksepter hvis IRR overgår avkastningskravet. IRR finnes vanligvis ved prøving og feiling eller i Excel. Tilbakebetalingstiden ( $\displaystyle \frac{I_0}{\text{årlig CF}}$ ved like kontantstrømmer) er intuitiv, men ignorerer både tidsverdien av penger og alt som skjer etter at investeringen er tjent inn. Fordi framtidige kontantstrømmer er usikre, supplerer vi med sensitivitetsanalyse som viser hvor robust konklusjonen er når forutsetningene endrer seg.