4.3 Annuiteter

Like beløp, gang på gang

Lønna som tikker inn den $15.$ hver måned. Sparingen du trekker fast hver lønning. Avdraget på studielånet. Forsikringspremien. Leieinntekten fra en utleiehybel. Alle disse har én ting til felles: de er like store betalinger som kommer med jevne mellomrom. En slik serie kaller vi en annuitet, og den dukker opp overalt i økonomien.

Det fine er at vi slipper å regne hver eneste betaling for seg. To formler tar seg av hele serien. Sluttverdien -- hvor mye sparingen din er vokst til på slutten -- er $\displaystyle FV = A\cdot\frac{(1 + r)^n - 1}{r}$, der $A$ er beløpet per periode, $r$ er renten per periode og $n$ er antall perioder. Nåverdien -- hva en fremtidig strøm av betalinger er verdt i dag -- er $\displaystyle PV = A\cdot\frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$.

De to brøkene kalles henholdsvis sluttverdifaktoren og annuitetsfaktoren. Når du først har regnet ut faktoren, ganger du bare med beløpet $A$, og hele serien er løst på ett jafs.

Å bygge opp en formue, krone for krone

La oss sette tallene i arbeid. Du sparer $2\,000$ kr i måneden i $10$ år, og renten er $6\%$ i året, altså $0{,}5\%$ per måned. Over $120$ måneder blir sluttverdien $\displaystyle FV = 2\,000\cdot\frac{(1{,}005)^{120} - 1}{0{,}005} = 2\,000\cdot\frac{0{,}819397}{0{,}005} = 2\,000\cdot 163{,}88 = 327\,759$ kr. Selv har du bare lagt inn $2\,000\cdot 120 = 240\,000$ kr -- de resterende $87\,759$ kr er rentes rente som har jobbet for deg mens du sov.

Ofte snur vi spørsmålet: hvor mye må jeg spare for å nå et bestemt mål? Da løser vi formelen for $A$: $\displaystyle A = \frac{FV\cdot r}{(1 + r)^n - 1}$. Vil du ha $3\,000\,000$ kr ved pensjon om $30$ år, med $5\%$ årlig rente, blir det $\displaystyle A = \frac{3\,000\,000\cdot 0{,}05}{(1{,}05)^{30} - 1} = \frac{150\,000}{3{,}321942} = 45\,154$ kr i året -- altså rundt $3\,763$ kr i måneden. Igjen ser du kraften i tid: du sparer bare $30\cdot 45\,154 \approx 1{,}35$ millioner selv, mens renten dobler det.

Nåverdiformelen er nyttig den andre veien, når vi vil verdsette en fremtidig inntektsstrøm. Vurderer du en utleiebolig som gir $10\,000$ kr i måneden i $15$ år, med avkastningskrav $6\%$ i året ($0{,}5\%$ per måned, $180$ måneder), blir leieinntektene verdt $\displaystyle PV = 10\,000\cdot\frac{1 - (1{,}005)^{-180}}{0{,}005} = 10\,000\cdot 118{,}50 = 1\,185\,035$ kr i dag -- altså rundt $1{,}19$ millioner kroner.

Terminbeløp på lån -- og forskuddsannuiteter

Nå snur vi blikket fra sparing til gjeld. Når banken låner deg penger, er lånet en nåverdi $PV$, og det du betaler hver måned er terminbeløpet $A$. For å finne det løser vi nåverdiformelen for $A$: $\displaystyle A = \frac{PV\cdot r}{1 - (1 + r)^{-n}}$. Dette er selve formelen bak boliglånet ditt.

Ta et boliglån på $3\,000\,000$ kr med $4\%$ årlig rente og $25$ års nedbetaling. Den månedlige renten er $r = 0{,}04/12 = 0{,}00333$, og antall terminer er $n = 25\cdot 12 = 300$. Da blir $\displaystyle A = \frac{3\,000\,000\cdot 0{,}00333}{1 - (1{,}00333)^{-300}} = \frac{10\,000}{0{,}631608} = 15\,835$ kr per måned. Det er den faste summen som dekker både renter og avdrag gjennom hele perioden.

Til slutt en finesse om tidspunktet for betalingene. Alt over har vært ordinær annuitet (etterskudd), der betalingen skjer på slutten av hver periode. Skjer betalingen i begynnelsen i stedet, kaller vi det annuitet forskudd, og da ganger vi formlene med $(1 + r)$: $\displaystyle PV_{forskudd} = A\cdot\frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}\cdot(1 + r)$ og $\displaystyle FV_{forskudd} = A\cdot\frac{(1+r)^n - 1}{r}\cdot(1 + r)$. Forskuddsannuitet gir alltid litt høyere verdi enn etterskudd, rett og slett fordi hver krone kommer inn -- og får jobbe -- én periode tidligere.

Oppsummering

En annuitet er en serie like store betalinger med jevne mellomrom -- lønn, sparing, leie, avdrag. To formler dekker hele serien: sluttverdien $\displaystyle FV = A\cdot\frac{(1+r)^n - 1}{r}$ forteller hvor mye en sparestrøm vokser til, og nåverdien $\displaystyle PV = A\cdot\frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$ forteller hva en fremtidig strøm av betalinger er verdt i dag.

Ved å snu formlene finner vi terminbeløpet: fra et sparemål bruker vi $\displaystyle A = \frac{FV\cdot r}{(1+r)^n - 1}$, og fra et lån (en nåverdi) bruker vi $\displaystyle A = \frac{PV\cdot r}{1 - (1+r)^{-n}}$ -- formelen bak boliglånets månedlige termin. Skjer betalingene i begynnelsen av hver periode i stedet for slutten, har vi en annuitet forskudd, som vi finner ved å gange med $(1 + r)$, og som alltid gir litt høyere verdi fordi pengene kommer inn ett hakk tidligere.