4.2 Nåverdi og fremtidsverdi

Tusen kroner i dag eller om ett år?

Se for deg at noen tilbyr deg $1\,000$ kr nå eller $1\,000$ kr om ett år. Hva velger du? Svaret er åpenbart: ta pengene nå. For har du dem i dag, kan du sette dem i banken og tjene renter -- og da er de verdt mer enn $1\,000$ kr om ett år. Dette enkle prinsippet kalles tidsverdien av penger, og det er kanskje det viktigste konseptet i hele finansfaget.

Det leder oss til to motsatte regnestykker. Fremtidsverdien (Future Value, FV) forteller hva et beløp i dag blir til senere: $FV = PV\cdot(1 + r)^n$, der $PV$ er nåverdien, $r$ er renten per periode og $n$ er antall perioder. Dette kjenner du igjen som rentes rente.

Den andre veien er mer overraskende. Nåverdien (Present Value, PV) forteller hva et fremtidig beløp er verdt i dag: $\displaystyle PV = \frac{FV}{(1 + r)^n}$. Vi snur formelen og deler i stedet for å gange. Dette kalles diskontering -- vi flytter fremtidige kroner tilbake til dagens verdi. Faktoren $\displaystyle \frac{1}{(1+r)^n}$ er diskonteringsfaktoren.

Å diskontere fremtidige beløp

La oss bruke nåverdiformelen. Du skal motta $100\,000$ kr om $5$ år, og renten er $6\%$. Hva er det verdt i dag? Vi regner $\displaystyle PV = \frac{100\,000}{(1{,}06)^5} = \frac{100\,000}{1{,}3382} = 74\,726$ kr. Tolkningen er konkret: setter du $74\,726$ kr i banken til $6\%$ i dag, vil de ha vokst til nøyaktig $100\,000$ kr om $5$ år. De to beløpene er altså økonomisk likeverdige -- bare på ulike tidspunkter.

Renten vi bruker her kaller vi diskonteringsrenten, og den uttrykker alternativkostnaden ved å binde kapital. Den bygger på den risikofrie renten (for eksempel statsobligasjoner), en risikopremie som kompenserer for usikkerhet, og forventet inflasjon. En tommelfingerregel: jo høyere diskonteringsrente, jo lavere nåverdi.

Hvor sterk denne effekten er, ser vi tydelig hvis vi diskonterer $100\,000$ kr om $10$ år med tre ulike renter. Med $4\%$ blir nåverdien $\displaystyle \frac{100\,000}{(1{,}04)^{10}} = 67\,556$ kr. Med $8\%$ faller den til $\displaystyle \frac{100\,000}{(1{,}08)^{10}} = 46\,319$ kr. Og med $12\%$ er den nede i $\displaystyle \frac{100\,000}{(1{,}12)^{10}} = 32\,197$ kr. Samme fremtidige beløp, men nåverdien mer enn halveres når renten går fra $4\%$ til $12\%$. Valget av diskonteringsrente er derfor ingen bagatell.

Flere kontantstrømmer og netto nåverdi

I virkeligheten kommer pengene sjelden som ett enkelt beløp. Et prosjekt gir gjerne en strøm av inn- og utbetalinger fordelt over flere år. Da diskonterer vi hver enkelt kontantstrøm til i dag og legger dem sammen: $\displaystyle PV = \sum_{t=1}^{n}\frac{C_t}{(1 + r)^t}$. Tenk deg et prosjekt som gir $30\,000$ kr etter år $1$, $40\,000$ kr etter år $2$ og $50\,000$ kr etter år $3$, med $7\%$ rente. Da blir $\displaystyle PV = \frac{30\,000}{1{,}07} + \frac{40\,000}{1{,}1449} + \frac{50\,000}{1{,}2250} = 28\,037 + 34\,938 + 40\,816 \approx 103\,791$ kr. Hver utbetaling teller mindre jo lenger ut i tid den ligger.

Når vi vurderer en investering, må vi også trekke fra det den koster. Det gir oss netto nåverdi (Net Present Value, NPV): $\displaystyle NPV = -I_0 + \sum_{t=1}^{n}\frac{C_t}{(1 + r)^t}$, der $I_0$ er den initiale investeringen på tidspunkt $0$. Beslutningsregelen er enkel: er $NPV > 0$ er investeringen lønnsom, er $NPV = 0$ gir den akkurat avkastningskravet, og er $NPV < 0$ er den ulønnsom.

Si at en maskin koster $100\,000$ kr og gir $35\,000$, $40\,000$ og $45\,000$ kr de tre neste årene, med et avkastningskrav på $10\%$. Da blir $\displaystyle NPV = -100\,000 + \frac{35\,000}{1{,}10} + \frac{40\,000}{1{,}21} + \frac{45\,000}{1{,}331} = -100\,000 + 31\,818 + 33\,058 + 33\,808 \approx -1\,316$ kr. Nåverdien blir altså litt negativ -- du bør la være å investere, selv om de udiskonterte innbetalingene ($120\,000$ kr) ser ut til å overgå kostnaden. Det er nettopp tidsverdien som snur konklusjonen.

Oppsummering

Penger har tidsverdi: en krone i dag er mer verdt enn en krone i fremtiden, fordi dagens krone kan investeres og vokse. Fremtidsverdien $FV = PV\cdot(1 + r)^n$ flytter et beløp framover i tid, mens nåverdien $\displaystyle PV = \frac{FV}{(1 + r)^n}$ diskonterer et fremtidig beløp tilbake til i dag. Jo høyere diskonteringsrente, jo lavere nåverdi.

Når pengene kommer som en strøm over flere år, diskonterer vi hver kontantstrøm for seg og summerer: $\displaystyle PV = \sum_{t=1}^{n}\frac{C_t}{(1+r)^t}$. Trekker vi fra den initiale investeringen, får vi netto nåverdi $\displaystyle NPV = -I_0 + \sum_{t=1}^{n}\frac{C_t}{(1+r)^t}$. Beslutningsregelen er klar: $NPV > 0$ betyr lønnsom investering, $NPV < 0$ betyr at du bør la være -- selv om de udiskonterte beløpene kan se forlokkende ut.