4.1 Renter og renteberegning

Prisen på penger

Tenk deg at du setter $10\,000$ kr inn på en sparekonto og glemmer dem. År etter år vokser de helt av seg selv. Hva er det som driver denne veksten? Svaret er renten -- prisen på å låne penger, eller avkastningen du får når du sparer ut. Renter påvirker alt fra ditt eget banklån til store bedriftsinvesteringer og rentemøtene i Norges Bank.

Vi starter med den enkleste modellen, enkel rente. Her beregnes renten kun av startkapitalen, aldri av rentene du allerede har tjent. Formelen er $K_n = K_0\cdot(1 + r\cdot n)$, der $K_0$ er startkapitalen, $r$ er årlig rente som desimaltall, $n$ er antall år og $K_n$ er sluttverdien. Setter du $10\,000$ kr inn til $5\%$ enkel rente i $3$ år, får du $K_3 = 10\,000\cdot(1 + 0{,}05\cdot 3) = 10\,000\cdot 1{,}15 = 11\,500$ kr. Du har tjent nøyaktig $500$ kr hvert år, til sammen $1\,500$ kr.

Enkel rente brukes sjelden i praksis, men den er et nyttig utgangspunkt -- for i virkeligheten gjør bankene noe langt mer kraftfullt.

Rentes rente -- den åttende underverk

Nesten alle banker bruker rentes rente, også kalt sammensatt rente. Forskjellen er enkel, men virkningen er enorm: renten legges til kapitalen, og neste periode beregnes renten av den nye, større summen. Du tjener altså rente også på rentene. Formelen blir $K_n = K_0\cdot(1 + r)^n$, der faktoren $(1 + r)$ kalles vekstfaktoren.

La oss ta de samme $10\,000$ kr til $5\%$, men nå med rentes rente i $3$ år: $K_3 = 10\,000\cdot(1{,}05)^3 = 10\,000\cdot 1{,}157625 = 11\,576{,}25$ kr. Sammenlignet med enkel rente, som ga $11\,500$ kr, har du fått $76{,}25$ kr ekstra. Det høres lite ut, men forskjellen vokser eksponentielt med tiden -- over $20$ eller $30$ år blir den dramatisk.

Det finnes et sitat -- ofte tilskrevet Albert Einstein, men usikkert om han faktisk sa det -- som lyder: «Rentes rente er verdens åttende underverk. Den som forstår det, tjener det; den som ikke gjør det, betaler det.» Uansett hvem som sa det, fanger det selve kjernen: eksponentiell vekst over tid er en kraft du vil ha på din side når du sparer, og en du frykter når du har gjeld.

Når renten beregnes oftere enn én gang i året

I praksis legger mange banker renten til flere ganger i året -- månedlig, kvartalsvis eller til og med daglig. Da bruker vi periodisk renteberegning: $\displaystyle K_n = K_0\cdot\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m\cdot n}$, der $r$ er den nominelle årlige renten du blir oppgitt, og $m$ er antall renteperioder per år. For månedlig er $m = 12$, for kvartalsvis $m = 4$, for daglig $m = 365$.

Setter du $100\,000$ kr inn til $6\%$ nominell rente med månedlig beregning i $2$ år, får du $\displaystyle K_2 = 100\,000\cdot\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{24} = 100\,000\cdot(1{,}005)^{24} = 112\,716$ kr. Med årlig beregning ville du fått $100\,000\cdot(1{,}06)^2 = 112\,360$ kr. Hyppigere renteberegning ga deg altså $356$ kr ekstra.

Dette betyr at den faktiske avkastningen din er høyere enn de oppgitte $6\%$. Den ekte avkastningen kaller vi effektiv årlig rente, og den finner vi med $\displaystyle r_{eff} = \left(1 + \frac{r_{nom}}{m}\right)^m - 1$. Med $6\%$ nominell og månedlig beregning blir $r_{eff} = (1{,}005)^{12} - 1 = 0{,}06168$, altså $6{,}168\%$. Den effektive renten er alltid høyere enn den nominelle når $m > 1$. Derfor: når du skal sammenligne lån eller spareprodukter, bruk alltid den effektive renten -- det er den eneste rettferdige målestokken.

Vekstfaktorer, 72-regelen og realrente

Det lønner seg å tenke på renter som vekstfaktorer. En vekstfaktor $V = 1 + r$ viser forholdet mellom ny og gammel verdi: $5\%$ økning gir $V = 1{,}05$, $3\%$ nedgang gir $V = 0{,}97$, en dobling gir $V = 2$. Den prosentvise endringen er alltid $(V - 1)\cdot 100\%$. Det fine er at flere endringer etter hverandre bare ganges sammen. Stiger en aksje $10\%$, faller $5\%$ og stiger $15\%$, blir totalfaktoren $1{,}10\cdot 0{,}95\cdot 1{,}15 = 1{,}20175$, altså en samlet økning på $20{,}175\%$ -- ikke summen $10 - 5 + 15 = 20\%$.

Vil du raskt anslå hvor lenge noe bruker på å doble seg, finnes 72-regelen: doblingstiden er omtrent $\displaystyle \frac{72}{r\cdot 100}$. Ved $6\%$ rente blir det $72/6 = 12$ år, ved $8\%$ blir det $9$ år. En grov, men nyttig hoderegning.

Til slutt: den nominelle renten forteller ikke hele sannheten, for prisene stiger også. Realrenten viser den faktiske økningen i kjøpekraft: $\displaystyle r_{real} = \frac{1 + r_{nom}}{1 + \pi} - 1$, der $\pi$ er inflasjonen. Gir sparekontoen $4\%$ mens inflasjonen er $2{,}5\%$, blir $\displaystyle r_{real} = \frac{1{,}04}{1{,}025} - 1 = 1{,}46\%$. En grei tilnærming når tallene er små er bare $r_{real} \approx r_{nom} - \pi = 1{,}5\%$. Kjøpekraften din vokser altså med rundt $1{,}5\%$ i året, ikke $4\%$.

Oppsummering

Renter er prisen på penger. Ved enkel rente vokser kapitalen med $K_n = K_0\cdot(1 + r\cdot n)$, men i praksis bruker bankene rentes rente: $K_n = K_0\cdot(1 + r)^n$, der vekstfaktoren $(1 + r)$ gjentas hver periode og gir eksponentiell vekst -- du tjener rente også på rentene.

Når renten beregnes $m$ ganger i året, blir det $\displaystyle K_n = K_0\cdot\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mn}$, og den ekte avkastningen er den effektive renten $\displaystyle r_{eff} = \left(1 + \frac{r_{nom}}{m}\right)^m - 1$, som alltid overgår den nominelle når $m > 1$. Tenk på renter som vekstfaktorer $V = 1 + r$ som ganges sammen over flere perioder, bruk 72-regelen $\displaystyle \frac{72}{r\cdot 100}$ til å anslå doblingstid, og husk at realrenten $\displaystyle \frac{1 + r_{nom}}{1 + \pi} - 1$ forteller hva som virkelig skjer med kjøpekraften din når inflasjonen spiser av avkastningen.