3.5 Nullpunkter og fortegn | Matematikk for økonomer

Der grafen treffer bakken

Tenk på en parabel som en kasteball: et sted forlater den bakken, og et sted lander den igjen. De stedene der grafen krysser $x$ -aksen, kaller vi nullpunktene -- det er $x$ -verdiene der $f(x)=0$ . For andregradsfunksjoner finner vi dem ved å løse likningen $ax^2+bx+c=0$ .

Den enkleste veien, når den er mulig, er faktorisering. Trikset er å finne to tall som ganget gir $c$ og addert gir $b$ . Ta $f(x)=x^2-5x+6$ . Vi leter etter to tall som ganget blir $6$ og addert blir $-5$ . Da passer $-2$ og $-3$ , fordi $(-2)\cdot(-3)=6$ og $(-2)+(-3)=-5$ . Vi kan dermed skrive $f(x)=(x-2)(x-3)$ .

Et produkt er null bare når en av faktorene er null, så $(x-2)(x-3)=0$ gir enten $x=2$ eller $x=3$ . Det er nullpunktene. Faktorisering er rask og elegant -- men den krever at tallene går pent opp. Når de ikke gjør det, trenger vi et tyngre verktøy.

Abc-formelen og diskriminanten

Når faktoriseringen butter, redder abc-formelen oss. Den løser enhver andregradslikning $ax^2+bx+c=0$ med $\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ . Uttrykket under rottegnet, $D=b^2-4ac$ , kaller vi diskriminanten, og den forteller på forhånd hvor mange nullpunkter vi får: er $D>0$ finnes to ulike nullpunkter, er $D=0$ finnes ett (en dobbeltrot), og er $D<0$ finnes ingen reelle nullpunkter.

La oss finne nullpunktene til $f(x)=2x^2+4x-6$ . Her er $a=2$ , $b=4$ og $c=-6$ . Diskriminanten blir $D=b^2-4ac=16-4\cdot 2\cdot(-6)=16+48=64$ . Siden $D>0$ venter to nullpunkter: $\displaystyle x=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{2\cdot 2}=\frac{-4\pm 8}{4}$ . Det gir $\displaystyle x=\frac{4}{4}=1$ og $\displaystyle x=\frac{-12}{4}=-3$ .

Kjenner vi nullpunktene, kan vi skrive funksjonen på faktorisert form: $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ . For $f(x)=2x^2-8x+6$ gir abc-formelen $\displaystyle x=\frac{8\pm\sqrt{64-48}}{4}=\frac{8\pm 4}{4}$ , altså $x=3$ og $x=1$ . Da er $f(x)=2(x-1)(x-3)$ . Vi kontrollerer ved å gange ut: $2(x^2-4x+3)=2x^2-8x+6$ -- akkurat det vi startet med.

Fortegnsanalyse -- pluss eller minus?

Nullpunktene gjør mer enn å vise hvor grafen krysser aksen. De deler tallinja i områder der funksjonen holder fast fortegn. I et område er $f(x)$ enten positiv hele veien eller negativ hele veien -- den kan bare skifte fortegn ved et nullpunkt. Det å kartlegge dette kaller vi fortegnsanalyse.

Framgangsmåten er ryddig: finn nullpunktene, del tallinja i intervaller ved dem, og test én $x$ -verdi i hvert intervall. La oss lage fortegnslinje for $f(x)=x^2-4$ . Nullpunktene er $x^2=4$ , altså $x=\pm 2$ , som deler tallinja i tre intervaller. Vi tester: $f(-3)=9-4=5>0$ , $f(0)=-4<0$ og $f(3)=5>0$ . Så funksjonen er positiv utenfor nullpunktene og negativ mellom dem -- akkurat som vi venter av en smilende parabel med $a>0$ .

Dette er kraftfullt når vi skal løse ulikheter. Ta $x^2-3x-10>0$ . Først nullpunktene: $(x-5)(x+2)=0$ gir $x=5$ og $x=-2$ . Siden $a=1>0$ , er parabelen positiv utenfor nullpunktene. Løsningen er derfor $x<-2$ eller $x>5$ , som vi skriver $x\in(-\infty,-2)\cup(5,\infty)$ . Generelt: med $a>0$ er $f(x)>0$ utenfor de to nullpunktene, mens med $a<0$ er $f(x)>0$ mellom dem.

Oppsummering

Nullpunktene til en andregradsfunksjon er $x$ -verdiene der $f(x)=0$ , der grafen krysser $x$ -aksen. Vi finner dem ved faktorisering -- to tall som ganget gir $c$ og addert gir $b$ , slik $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ gir $x=2$ og $x=3$ -- eller med abc-formelen $\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

Diskriminanten $D=b^2-4ac$ avslører antallet på forhånd: $D>0$ gir to nullpunkter, $D=0$ gir ett, og $D<0$ gir ingen reelle. Kjenner vi nullpunktene, kan vi skrive funksjonen på faktorisert form $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Nullpunktene deler tallinja i intervaller med fast fortegn, og ved å teste én verdi i hvert intervall lager vi en fortegnslinje. Det lar oss løse ulikheter: med $a>0$ er $f(x)>0$ utenfor nullpunktene, mens med $a<0$ er $f(x)>0$ mellom dem -- et verktøy vi får stor glede av videre i kurset.