2.6 Praktisk bruk av likninger

Fra tekst til likning

Matematikk handler ikke bare om å løse ferdige likninger -- den virkelige kunsten er å oversette et problem fra virkeligheten til en likning du kan løse. Det er denne ferdigheten som gjør matematikk nyttig i økonomi, der du stadig må gjøre om en beskrivelse med ord til tall og symboler.

Oppskriften er den samme hver gang. Les oppgaven nøye, gjerne flere ganger, og finn ut hva du skal finne -- det ukjente. La $x$ stå for det ukjente. Skriv så ned alt du vet, uttrykt ved $x$, og sett opp en likning. Løs likningen, og -- like viktig -- sjekk at svaret gir mening i sammenhengen.

La oss begynne med de enkleste «finn tallet»-oppgavene. «Summen av et tall og $7$ er $15$.» Vi lar $x$ være tallet, oversetter «summen av et tall og $7$» til $x+7$, og setter opp $x+7=15$. Trekker vi fra $7$, får vi $x=8$. Vi sjekker: $8+7=15$, riktig.

Litt mer ordrikt: «Det dobbelte av et tall pluss $3$ er $17$.» Her blir «det dobbelte av et tall» til $2x$, så likningen er $2x+3=17$. Vi trekker fra $3$ ($2x=14$) og deler på $2$: $x=7$. Sjekk: $2\cdot 7+3=17$. Nøkkelen er å oversette hvert ord til matematikk, ett ledd om gangen.

To ukjente med én variabel, og aldersoppgaver

Når oppgaven har to ukjente tall, er trikset å uttrykke begge ved samme variabel. «Summen av to tall er $20$. Det ene er $4$ mer enn det andre.» Vi lar $x$ være det minste tallet, og da er det største $x+4$. Summen gir $x+(x+4)=20$, altså $2x+4=20$, så $2x=16$ og $x=8$. Det største er da $8+4=12$. Sjekk: $8+12=20$, og $12-8=4$. Begge stemmer.

Aldersoppgaver er klassikere, og her gjelder en gyllen regel: alle blir like mye eldre samtidig. «Emma er $3$ ganger så gammel som Lukas, og til sammen er de $24$ år.» La $x$ være Lukas' alder, så er Emma $3x$. Da er $x+3x=24$, altså $4x=24$ og $x=6$. Lukas er $6$ år og Emma $3\cdot 6=18$ år.

De litt vanskeligere aldersoppgavene blander nåtid og framtid. «En far er $30$ år eldre enn sønnen. Om $5$ år vil faren være dobbelt så gammel.» La $x$ være sønnens alder nå, så er faren $x+30$. Om $5$ år er sønnen $x+5$ og faren $x+35$. Kravet «dobbelt så gammel» gir $x+35=2(x+5)$. Vi ganger ut: $x+35=2x+10$, og løser: $25=x$. Sønnen er $25$ og faren $55$. Sjekk om $5$ år: $30$ og $60$, der $60=2\cdot 30$.

Penger, geometri og fart

Samme oppskrift løser de fleste praktiske problemer. Penger og priser dreier seg ofte om at totalpris er pris ganger antall. «En kinobillett koster $120$ kr, og Elise betalte $600$ kr.» La $x$ være antall billetter: $120x=600$, så $x=5$. Skal et beløp fordeles, uttrykker vi delene ved samme variabel: «Jonas og Ida deler $450$ kr, og Jonas får $50$ kr mer.» La $x$ være Idas beløp, så får Jonas $x+50$. Da er $x+(x+50)=450$, altså $2x+50=450$, så $x=200$. Ida får $200$ kr og Jonas $250$ kr.

I geometri bruker vi formler for omkrets og areal. «Et rektangel har omkrets $36$ cm, og lengden er $3$ cm mer enn bredden.» La $x$ være bredden, så er lengden $x+3$. Omkretsen $2x+2(x+3)=36$ gir $4x+6=36$, altså $4x=30$ og $x=7{,}5$. Bredden er $7{,}5$ cm og lengden $10{,}5$ cm. For en likebeint trekant med omkrets $32$ cm, der de to like sidene hver er $5$ cm lengre enn grunnlinjen $x$, blir $x+2(x+5)=32$, altså $3x+10=32$ og $\displaystyle x=\frac{22}{3}\approx 7{,}33$ cm.

Til slutt fart, tid og strekning, knyttet sammen av $s=v\cdot t$. «En bil kjører $80$ km/t. Hvor lang tid tar $200$ km?» La $t$ være tiden: $200=80t$, så $\displaystyle t=\frac{200}{80}=2{,}5$ timer. Uansett tema er mønsteret det samme -- velg en variabel, oversett opplysningene, løs, og kontroller at svaret er rimelig.

Oppsummering

Å løse praktiske problemer handler om å oversette ord til matematikk. Oppskriften gjelder uansett tema: les oppgaven, finn det ukjente, la $x$ stå for det, uttrykk alt du vet ved $x$, sett opp likningen, løs den, og sjekk at svaret gir mening.

Vi har sett mønsteret i mange forkledninger -- «finn tallet»-oppgaver som $x+7=15$, to ukjente uttrykt ved samme variabel ($x$ og $x+4$), aldersoppgaver der alle eldes likt, fordeling av penger, omkrets og areal i geometri, og sammenhengen $s=v\cdot t$ for fart. Det viktigste grepet er alltid å uttrykke flere ukjente størrelser ved én variabel, slik at du ender opp med én likning og ett svar. Med denne modelleringsferdigheten kan du angripe et hvilket som helst tekstproblem du møter, fra budsjett og pris til tid og avstand.