4.3 Areal og volum

Å måle verden rundt oss

Hvor mye maling trenger du for å male et rom? Hvor mange liter vann rommer et svømmebasseng? Hvor stort er arealet av en fotballbane? Alle disse spørsmålene handler om areal og volum -- to grunnleggende begreper i geometri.

Areal måler størrelsen på en flate (i kvadratmeter, kvadratcentimeter osv.). Volum måler størrelsen på et rom eller en gjenstand (i kubikkmeter, liter osv.). I dette kapittelet skal vi bygge opp en verktøykasse av formler som lar oss beregne areal og volum for de viktigste figurene.

Areal av flate figurer

La oss starte med flatefigurene. De viktigste formlene for areal er:

Rektangel:

$$A = l \cdot b$$

der $l$ er lengden og $b$ er bredden. Et rektangel på $5 \times 3$ cm har areal $15$ cm$^2$.

Parallellogram:

$$A = g \cdot h$$

der $g$ er grunnlinjen og $h$ er høyden (den vinkelrette avstanden mellom grunnlinjene). Ikke bruk den «skrå» siden -- det er høyden som gjelder!

Trekant:

$$A = \frac{g \cdot h}{2}$$

En trekant er «halvparten» av et parallellogram. En trekant med grunnlinje $8$ cm og høyde $5$ cm har areal $\displaystyle \frac{8 \times 5}{2} = 20$ cm$^2$.

Trapes:

$$A = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$$

der $a$ og $b$ er de to parallelle sidene og $h$ er høyden mellom dem. Tenk på det som gjennomsnittet av de to parallelle sidene, ganget med høyden.

Sirkel:

$$A = \pi r^2$$

der $r$ er radius (avstanden fra sentrum til kanten). En sirkel med radius $7$ cm har areal $\pi \cdot 7^2 = 49\pi \approx 153{,}9$ cm$^2$.

Husk at $\pi \approx 3{,}14$, men du bør la kalkulatoren gi deg en mer nøyaktig verdi.

Overflate og volum av romfigurer -- prismer og sylinder

Nå forlater vi flatland og går inn i 3D! Et prisme er en romfigur med to identiske, parallelle endeflater (grunnflater) forbundet av rektangler. Formen på grunnflaten bestemmer hva slags prisme det er: et rektangulært prisme (boks), et trekantprisme (Toblerone-boks), et sekskantet prisme (blyant), osv.

Volum av prisme:

$$V = G \cdot h$$

der $G$ er arealet av grunnflaten og $h$ er høyden (avstanden mellom grunnflatene).

Et rektangulært prisme (boks) med lengde $5$, bredde $3$ og høyde $4$ cm har:

$$V = (5 \times 3) \times 4 = 15 \times 4 = 60 \text{ cm}^3$$

En sylinder er som et prisme med sirkulær grunnflate:

$$V_{\text{sylinder}} = \pi r^2 \cdot h$$

En brus-boks med radius $3{,}3$ cm og høyde $12$ cm rommer:

$$V = \pi \cdot 3{,}3^2 \cdot 12 = \pi \cdot 10{,}89 \cdot 12 \approx 410 \text{ cm}^3 = 0{,}41 \text{ liter}$$

(Akkurat plass til en halv-liter brus, med litt luft i toppen.)

Overflaten av en sylinder er summen av de to sirkulære endene og den buede sideflaten. Sideflaten er som et rektangel som er «rullet rundt» sylinderen:

$$O_{\text{sylinder}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)$$

Pyramide, kjegle og kule

Noen romfigurer smalner av til en spiss:

Pyramide: En pyramide har én grunnflate og trekantsider som møtes i et punkt (toppen). Volumet er en tredjedel av prismet med samme grunnflate og høyde:

$$V_{\text{pyramide}} = \frac{G \cdot h}{3}$$

En firkantet pyramide med kvadratisk grunnflate ($6 \times 6$ cm) og høyde $10$ cm:

$$V = \frac{36 \times 10}{3} = \frac{360}{3} = 120 \text{ cm}^3$$

Kjegle: En kjegle er som en pyramide med sirkulær grunnflate:

$$V_{\text{kjegle}} = \frac{\pi r^2 h}{3}$$

Tenk på en iskremkjegle med radius $3$ cm og høyde $12$ cm:

$$V = \frac{\pi \cdot 9 \cdot 12}{3} = 36\pi \approx 113 \text{ cm}^3$$

Huskeregelen er enkel: pyramide og kjegle har en tredjedel av volumet til tilsvarende prisme eller sylinder.

Kule: En kule er den mest «effektive» formen -- den har størst volum i forhold til overflaten. Formlene er:

$$V_{\text{kule}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \qquad O_{\text{kule}} = 4\pi r^2$$

En fotball med radius $11$ cm:

$$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 11^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1331 \approx 5575 \text{ cm}^3 \approx 5{,}6 \text{ liter}$$

Sammensatte figurer og enheter

I praksis er mange gjenstander sammensatte -- de består av flere grunnfigurer satt sammen. En iskrem i en kjegle med en halvkule is på toppen har totalt volum:

$$V_{\text{total}} = V_{\text{kjegle}} + V_{\text{halvkule}} = \frac{\pi r^2 h}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{\pi r^2 h}{3} + \frac{2\pi r^3}{3}$$

Enhetsomregning er også viktig:
- $1$ m $= 100$ cm, så $1$ m$^2$ $= 10\,000$ cm$^2$ og $1$ m$^3$ $= 1\,000\,000$ cm$^3$
- $1$ dm$^3$ $= 1$ liter
- $1$ m$^3$ $= 1000$ liter
- $1$ cm$^3$ $= 1$ mL (milliliter)

Når du regner med volum, pass på at alle mål er i samme enhet før du setter inn i formelen. Bland aldri cm og m!

Oppsummering