1.4 Standardform

Tall som sprenger alle grenser

Universet er rundt $93\,000\,000\,000$ lysår i diameter. Et hydrogenatom har en diameter på omtrent $0{,}000\,000\,000\,106$ meter. Å skrive slike tall med alle nullene er upraktisk, uoversiktlig og lett å gjøre feil med. Hva om det fantes en smartere måte?

Det gjør det! Standardform (også kalt vitenskapelig notasjon) lar oss skrive tall kompakt ved hjelp av tierpotenser. I stedet for alle de nullene, skriver vi:
- Universets diameter: $9{,}3 \times 10^{10}$ lysår
- Hydrogenatomets diameter: $1{,}06 \times 10^{-10}$ m

Mye ryddigere! I dette kapittelet lærer du å mestre denne elegante skrivemåten.

Reglene for standardform

Et tall er på standardform når det skrives slik:

$$a \times 10^n$$

der:
- $1 \leq a < 10$ (nøyaktig ett siffer som ikke er null foran kommaet)
- $n$ er et helt tall (positiv, negativ eller null)

Noen eksempler på hva som er og ikke er standardform:

Regning med standardform

Den store fordelen med standardform er at det gjør regning med store og små tall mye enklere.

Multiplikasjon: Gang $a$-verdiene og addér eksponentene:
$$(a \times 10^m) \times (b \times 10^n) = (a \times b) \times 10^{m+n}$$

Eksempel: $(3 \times 10^4) \times (5 \times 10^3) = 15 \times 10^7$

Men vent -- $15 \geq 10$, så dette er ikke standardform! Vi justerer: $15 = 1{,}5 \times 10^1$, altså:
$$15 \times 10^7 = 1{,}5 \times 10^8$$

Divisjon: Del $a$-verdiene og subtrahér eksponentene:
$$\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}$$

Eksempel: $\displaystyle \frac{8 \times 10^9}{4 \times 10^3} = 2 \times 10^{9-3} = 2 \times 10^6$

Hva med addisjon og subtraksjon? Da må tallene ha samme eksponent først! For eksempel:
$$3{,}5 \times 10^4 + 2{,}1 \times 10^3$$

Vi skriver om $2{,}1 \times 10^3 = 0{,}21 \times 10^4$, og legger sammen:
$$3{,}5 \times 10^4 + 0{,}21 \times 10^4 = 3{,}71 \times 10^4$$

Standardform i den virkelige verden

Standardform er uunnværlig i naturvitenskap og teknologi. Her er noen fascinerende eksempler:

Astronomi:
- Avstanden fra Jorda til Sola: $1{,}496 \times 10^{11}$ m
- Lysets hastighet: $3{,}0 \times 10^8$ m/s
- Antall stjerner i den observerbare delen av universet: ca. $10^{24}$

Biologi:
- Diameter til et rødt blodlegeme: $7 \times 10^{-6}$ m
- Antall celler i menneskekroppen: ca. $3{,}7 \times 10^{13}$
- Massen til en bakterie: ca. $10^{-15}$ kg

Teknologi:
- Prosessorhastighet: en moderne prosessor gjør ca. $5 \times 10^9$ operasjoner per sekund
- Størrelsen på en transistor: ca. $3 \times 10^{-9}$ m

Standardform hjelper oss å sammenlikne slike tall. Hvor mange ganger tyngre er Jorda ($6 \times 10^{24}$ kg) enn Månen ($7{,}3 \times 10^{22}$ kg)?

$$\frac{6 \times 10^{24}}{7{,}3 \times 10^{22}} = \frac{6}{7{,}3} \times 10^{24-22} \approx 0{,}82 \times 10^2 = 82$$

Jorda er altså omtrent $82$ ganger tyngre enn Månen.

Oppsummering

Standardform: $a \times 10^n$ der $1 \leq a < 10$ og $n$ er et helt tall.

Store tall gir positiv eksponent. Små tall gir negativ eksponent.