3.5 Figurtall og geometriske mønstre | Matematikk 8. klasse

Finne formler for figurtall og geometriske mønstre.

45 min

12 oppgaver

FigurtallGeometriske mønstreTrekanttallKvadrattall

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.4Tallmønstre og tallfølger

Brukes videre i

3.6Generalisering med variabler og formler

Figurtall og geometriske mønstre

Noen tallfølger kan vi se for oss som figurer. Tenk deg at du bygger figurer med brikker, kuler eller prikker. For hver ny figur legger du til flere brikker etter et bestemt mønster. Tallene som forteller hvor mange brikker du trenger, kaller vi figurtall.

Figurtall har blitt studert av matematikere i over 2500 år! Allerede i det gamle Hellas oppdaget Pythagoras og vennene hans at man kunne ordne prikker i trekanter, firkanter og andre former.

I dette kapittelet skal du:
- Lære om trekanttall og kvadrattall
- Tegne figurer og telle brikker
- Finne mønsteret i hvordan figurene vokser
- Bruke tabeller til å holde oversikt

Figurtall

n

Figurnummer ( $n$ )	Figur	Antall prikker
$1$	Figur 1 (liten)	$a_1$
$2$	Figur 2 (større)	$a_2$
$3$	Figur 3 (enda større)	$a_3$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

Trekanttall

1 + 2 = 3

Kvadrattall

1 \times 1 = 1

✏️Eksempel 1: Trekanttall

a) Finn det 5. og 6. trekanttallet.
b) Emilie stabler hermetikkbokser i en pyramide. Nederste rad har 6 bokser, neste har 5, og så videre opp til 1 boks øverst. Hvor mange bokser bruker hun totalt?

a) Det 5. og 6. trekanttallet:

$T_5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$

eller med formelen: $\displaystyle T_5 = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15$

$T_6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$

eller med formelen: $\displaystyle T_6 = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$

b) Emilies pyramide:

Antall bokser er $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6$ . Dette er trekanttall nr. 6:

$T_6 = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$

Emilie bruker 21 bokser totalt.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Det 4. trekanttallet er $8$ .

✏️Eksempel 2: Figurer med fyrstikker

Oliver bygger figurer med fyrstikker:

- Figur 1: En enkelt trekant (3 fyrstikker)
- Figur 2: To trekanter ved siden av hverandre (5 fyrstikker)
- Figur 3: Tre trekanter ved siden av hverandre (7 fyrstikker)

a) Tegn figur 4 og tell antall fyrstikker.
b) Lag en tabell for figur 1 til 5.
c) Hva er mønsteret?

a) Figur 4:

Figur 4 har fire trekanter ved siden av hverandre. De deler sider, så vi trenger:

$3 + 2 + 2 + 2 = 9$ fyrstikker

b) Tabell:

Figur $n$	Antall fyrstikker
$1$	$3$
$2$	$5$
$3$	$7$
$4$	$9$
$5$	$11$

c) Mønsteret:
Vi legger til

2

fyrstikker for hver ny figur. Dette er en aritmetisk følge med

d = 2

.
Den første trekanten trenger

3

fyrstikker. Hver ny trekant deler en side med den forrige, så vi trenger bare

2

nye fyrstikker for hver ny trekant.

✏️Eksempel 3: L-form

Se på figurer bygget av ruter i L-form:

- Figur 1: 3 ruter (en L med 2 nedover og 2 bortover, der hjørneruta deles)
- Figur 2: 5 ruter
- Figur 3: 7 ruter
- Figur 4: 9 ruter

a) Finn mønsteret.
b) Hvor mange ruter har figur 10?
c) Hvilken figur har 31 ruter?

a) Mønsteret:

Vi ser på differansene: $5 - 3 = 2$ , $7 - 5 = 2$ , $9 - 7 = 2$ .

Differansen er konstant $d = 2$ . Det er en aritmetisk følge som starter på $3$ .

Mønsteret med ord: Figur 1 har 3 ruter, og vi legger til 2 ruter for hver ny figur.

b) Figur 10:

Vi starter på $3$ og legger til $2$ ni ganger (fra figur 1 til figur 10):

$3 + 9 \cdot 2 = 3 + 18 = 21$

Figur 10 har 21 ruter.

c) Hvilken figur har 31 ruter?

Vi trenger å finne $n$ slik at $3 + (n - 1) \cdot 2 = 31$ .

$3 + 2n - 2 = 31$
$2n + 1 = 31$
$2n = 30$
$n = 15$

Figur 15 har 31 ruter.

Når du jobber med figurtall, kan det hjelpe å:

1. Tegn figurene. Tegn de 3--4 første figurene og studer dem.
2. Lag en tabell. Skriv figurnummer og antall brikker i en tabell.
3. Se på differansene. Regn ut forskjellen mellom nabotallene.
4. Beskriv veksten. Forklar med ord hva som legges til for hvert steg.
5. Se etter kjente tall. Er tallene trekanttall? Kvadrattall? Oddetall?

📝Oppgave 1

Regn ut trekanttallene.

Finn $T_4$ .

Finn $T_7$ .

Finn $T_{10}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Skriv opp de 6 første kvadrattallene. Regn ut differansene mellom nabotallene. Hva legger du merke til?

📝Oppgave 3

En figur bygges med fyrstikker slik at figur 1 er en firkant (4 fyrstikker), figur 2 er to firkanter ved siden av hverandre (7 fyrstikker), og figur 3 er tre firkanter (10 fyrstikker).

Hvor mange fyrstikker trengs til figur 4?

Hvor mange fyrstikker trengs til figur 7?

Forklar med ord hvorfor vi legger til nøyaktig 3 fyrstikker for hver ny firkant.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Nora lager figurer med prikker:

Figur 1 har 1 prikk, figur 2 har 4 prikker, figur 3 har 9 prikker, figur 4 har 16 prikker. Hva slags figurtall er dette?

Hvor mange prikker har figur 8?

Hvilken figur har 100 prikker?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Se på denne tallfølgen av figurtall: $2, 6, 12, 20, 30, \ldots$

Finn differansene mellom nabotallene. Hva legger du merke til?

Finn det neste leddet i følgen.

Sammenlign tallene med trekanttallene $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$ . Hva oppdager du?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Vis at summen av de 5 første oddetallene er lik $5^2 = 25$ . Regn deretter ut summen av de 8 første oddetallene, og sjekk at svaret er $8^2$ .

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: To trekanttall lagt sammen gir alltid et kvadrattall. Undersøk om denne påstanden stemmer. Prøv med flere eksempler og forsøk å forklare hvorfor (eller hvorfor ikke) det er slik.

Oppsummering

Figurtall

- Et figurtall er et tall vi finner ved å telle prikker i en geometrisk figur
- Vi bygger figurene steg for steg og leter etter mønsteret

Trekanttall

- Prikker ordnet i en trekant
-

\displaystyle T_n = \frac{n(n+1)}{2}

- De første:

1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots

Kvadrattall

- Prikker ordnet i et kvadrat
-

K_n = n^2

- De første:

1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots

- Summen av de

n

første oddetallene er

n^2

Tips

- Tegn figurene og lag tabeller for å finne mønsteret
- Se på differansene -- de forteller deg mye om mønsteret
- Konstante differanser betyr at det er en aritmetisk følge
- Differanser som øker jevnt kan bety trekanttall eller kvadrattall

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.