6.1 Sentralmål og spredningsmål

Hva er «normalt»?

Tenk deg at noen sier: «En gjennomsnittlig norsk 13-åring er omtrent $165$ cm høy.» Hva betyr det egentlig? Det betyr ikke at alle 13-åringer er nøyaktig $165$ cm. Noen er $155$ cm, andre er $175$ cm. Men hvis vi tar alle høydene og finner et «typisk» tall, havner vi rundt $165$ cm.

I matematikken kaller vi slike «typiske tall» for sentralmål. De er verktøy som hjelper oss å oppsummere mange tall med bare ett enkelt tall. I stedet for å liste opp høydene til $200$ elever, kan vi si: «Gjennomsnittshøyden er $165$ cm.» Det gir et raskt og nyttig bilde.

Men her er trikset: det finnes flere måter å finne et «typisk tall» på, og de gir ikke alltid samme svar. De tre viktigste sentralmålene er gjennomsnitt, median og typetall. La oss se på dem én etter én.

Gjennomsnitt -- summen delt på antall

Gjennomsnitt (eller middelverdi) er det de fleste tenker på når de hører ordet «gjennomsnitt». Du regner det ut slik:

$$\bar{x} = \frac{\text{summen av alle verdiene}}{\text{antall verdier}}$$

Symbolet $\bar{x}$ (leses «x strek») betyr gjennomsnitt.

Eksempel: Fem venner sammenlikner ukepengene sine: $50, 60, 50, 80, 60$ kr.

$$\bar{x} = \frac{50 + 60 + 50 + 80 + 60}{5} = \frac{300}{5} = 60 \text{ kr}$$

Gjennomsnittet er $60$ kr. Det betyr at hvis alle hadde fått like mye, ville hver person fått $60$ kr.

Gjennomsnittet er lett å forstå og lett å beregne. Men det har en svakhet: det påvirkes sterkt av ekstremverdier. Tenk deg at en sjette venn dukker opp med $500$ kr i ukepengar:

$$\bar{x} = \frac{50 + 60 + 50 + 80 + 60 + 500}{6} = \frac{800}{6} \approx 133 \text{ kr}$$

Plutselig er gjennomsnittet $133$ kr, men de fleste får bare $50$--$80$ kr! Én enkelt høy verdi har dratt hele gjennomsnittet opp. Det gir et misvisende bilde.

Median -- den midterste verdien

Medianen er den midterste verdien når alle tallene er sortert fra minst til størst. Halvparten av verdiene er under medianen, og halvparten er over.

Slik finner du medianen:
1. Sorter tallene fra minst til størst
2. Finn den midterste verdien:
- Hvis det er et oddetall verdier: medianen er den midterste
- Hvis det er et partall verdier: medianen er gjennomsnittet av de to midterste

Eksempel med oddetall: Poeng på en prøve: $5, 2, 8, 4, 6$.
Sortert: $2, 4, 5, 6, 8$. Medianen er $5$ (den tredje av fem verdier).

Eksempel med partall: Antall mål i seks kamper: $1, 0, 3, 2, 1, 4$.
Sortert: $0, 1, 1, 2, 3, 4$. De to midterste er $1$ og $2$. Medianen er $\displaystyle \frac{1 + 2}{2} = 1{,}5$.

Den store fordelen med medianen er at den ikke påvirkes av ekstremverdier. La oss gå tilbake til ukepengar-eksempelet: $50, 50, 60, 60, 80, 500$ kr. Medianen er $\displaystyle \frac{60 + 60}{2} = 60$ kr -- mye mer representativt enn gjennomsnittet på $133$ kr!

Medianen er spesielt nyttig for data som er skjevt fordelt, for eksempel inntekt, boligpriser eller ventetider.

Typetall -- den vanligste verdien

Typetallet (også kalt modus) er den verdien som forekommer flest ganger i datasettet. Det er det enkleste sentralmålet å finne -- bare tell!

Eksempel: Skostørrelse i en klasse: $38, 39, 40, 39, 41, 39, 38, 40, 42, 39$.

La oss telle:
- $38$: forekommer $2$ ganger
- $39$: forekommer $4$ ganger
- $40$: forekommer $2$ ganger
- $41$: forekommer $1$ gang
- $42$: forekommer $1$ gang

Typetallet er $39$ fordi det forekommer oftest ($4$ ganger).

Spesielle tilfeller:
- Et datasett kan ha flere typetall hvis to eller flere verdier forekommer like mange ganger. For eksempel i $\{1, 1, 2, 2, 3\}$ er både $1$ og $2$ typetall.
- Et datasett har ingen typetall hvis alle verdier forekommer like mange ganger. For eksempel har $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ ingen typetall.

Når bruker vi typetallet? Typetallet er spesielt nyttig for kategoridata -- data som ikke er tall. Tenk på favorittfarge: rød, blå, grønn, blå, blå, rød. Her gir det ingen mening å beregne gjennomsnitt eller median, men typetallet er «blå» (den vanligste fargen).

Det brukes også når du vil vite hva som er mest populært eller mest vanlig: den vanligste skostørrelsen, den mest solgte boken, den mest spilte sangen.

Når bruker du hva?

Alle tre sentralmålene har sine styrker. Her er en oversikt over når du bør bruke hvert:

Eksempel: Lønninger i en liten bedrift (i tusen kr): $35, 38, 40, 42, 45, 300$.

- Gjennomsnitt: $\displaystyle \frac{35 + 38 + 40 + 42 + 45 + 300}{6} = \frac{500}{6} \approx 83$ tusen kr
- Median: $\displaystyle \frac{40 + 42}{2} = 41$ tusen kr
- Typetall: finnes ikke (alle verdier er unike)

Gjennomsnittet ($83$ tusen) er misvisende fordi sjefens lønn ($300$ tusen) trekker det opp. Medianen ($41$ tusen) gir et mye bedre bilde av hva en «vanlig» ansatt tjener.

Oppsummering

Sentralmål er tall som beskriver hva som er «typisk» i et datasett.

Gjennomsnitt ($\bar{x}$): Summen av alle verdier delt på antall verdier.
$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$
Bruker alle dataene, men påvirkes av ekstremverdier.

Median: Den midterste verdien når dataene er sortert. Med partall verdier tar du gjennomsnittet av de to midterste. Robust mot ekstremverdier.

Typetall (modus): Den verdien som forekommer oftest. Det eneste sentralmålet som fungerer for kategoridata.

Velg riktig sentralmål etter situasjonen:
- Jevnt fordelte data uten ekstremverdier $\rightarrow$ gjennomsnitt
- Data med ekstremverdier eller skjev fordeling $\rightarrow$ median
- Kategoridata eller «mest vanlig» $\rightarrow$ typetall