4.2 Trekanter og vinkelsum

Vinkler er overalt

Se deg rundt i rommet. Hjørnene på bordet, skråningen på taket, viften som snurrer i taket -- alle disse inneholder vinkler. En vinkel oppstår der to linjer eller stråler møtes, og størrelsen på vinkelen beskriver hvor mye de «åpner seg» fra hverandre.

Vinkler er selve grunnsteinen i geometrien. Arkitekter bruker dem for å designe bygninger, billedkunstnere for å skape perspektiv, og ingeniører for å beregne krefter. Selv naturen er full av vinkler -- tenk på hvordan en snøkrystall alltid har $60°$-vinkler, eller hvordan bier bygger sekskantede voksceller med perfekte $120°$-vinkler.

I dette kapittelet skal vi lære hva vinkler er, hvordan vi måler dem, og hvordan de oppfører seg i trekanter.

Hva er en vinkel?

En vinkel dannes av to stråler (halve linjer) som har samme startpunkt. Startpunktet kalles toppunktet, og strålene kalles vinkelbeina.

Vi måler vinkler i grader (symbolet $°$). En hel omdreining er $360°$, en halv omdreining er $180°$, og en kvart omdreining er $90°$.

Vinkler deles inn i typer etter størrelsen:

Viktige vinkelpar

Noen vinkler har spesielle forhold til hverandre:

Supplementvinkler

Hvis den ene vinkelen er $110°$, er supplementvinkelen $180° - 110° = 70°$.

Komplementvinkler

Hvis den ene vinkelen er $35°$, er komplementvinkelen $90° - 35° = 55°$.

Toppvinkler

Hvis en av vinklene er $60°$, er toppvinkelen også $60°$. De to andre vinklene er begge $120°$ (supplementvinkler til $60°$).

Vinkelsummen i trekanter

En trekant er den enkleste flaten vi kan lage med rette linjer -- tre sider og tre vinkler. Og her kommer en av geometriens viktigste regler:

> Vinkelsummen i en trekant er alltid $180°$.

Det betyr at hvis du legger sammen alle tre vinklene i en hvilken som helst trekant, får du alltid $180°$. Alltid! Uansett form eller størrelse.

Hvis du vet to av vinklene, kan du finne den tredje:

$$v_3 = 180° - v_1 - v_2$$

For eksempel: Hvis en trekant har vinkler på $50°$ og $70°$, er den tredje vinkelen $180° - 50° - 70° = 60°$.

Du kan faktisk teste dette selv. Tegn en trekant, klipp ut de tre hjørnene, og legg dem ved siden av hverandre. De vil danne en rett linje -- altså $180°$!

Trekanttyper etter vinkler

Trekanttyper etter sider

Vinkler ved parallelle linjer

Når en rett linje (en transversal) krysser to parallelle linjer, dannes åtte vinkler med spesielle egenskaper:

- Samsvarende vinkler (F-vinkler): Vinkler som ligger på samme side av transversalen og i samme posisjon ved hvert krysspunkt. De er like store.
- Toppvinkler: Vinkler som ligger mot hverandre i samme krysspunkt. De er like store.
- Supplementvinkler: Nabovinkler i samme krysspunkt summerer alltid til $180°$.

Disse egenskapene er utrolig nyttige for å finne ukjente vinkler. Hvis du vet at to linjer er parallelle og kjenner en vinkel, kan du finne alle de andre syv vinklene!

For eksempel: Hvis en transversal krysser to parallelle linjer og en av vinklene er $65°$, vet vi at samsvarende vinkler er $65°$, toppvinkler er $65°$, og supplementvinklene er $180° - 65° = 115°$.

Oppsummering

Vinkeltyper: Spiss ($< 90°$), rett ($= 90°$), stump ($90°$--$180°$), rett linje ($= 180°$) og refleks ($180°$--$360°$).

Vinkelpar:
- Supplementvinkler: summer til $180°$
- Komplementvinkler: summer til $90°$
- Toppvinkler: like store (der to linjer krysser)

Vinkelsummen i en trekant er alltid $180°$.

Trekanttyper etter vinkler: spissvinket (alle $< 90°$), rettvinklet (en $= 90°$), stumpvinket (en $> 90°$).

Trekanttyper etter sider: likesidet (alle sider like, alle vinkler $= 60°$), likebeint (to sider like, to vinkler like), ulikesidet (alle sider forskjellige).

Ved parallelle linjer gir samsvarende vinkler (F-vinkler) like store vinkler, og nabovinkler summerer til $180°$.