4.5 Volum

Fra flatt til tredimensjonalt

Hittil har vi jobbet med flate figurer -- rektangler, trekanter, sirkler. Vi har målt omkretsen (lengden rundt) og arealet (flaten inni). Men verden er ikke flat! Den er tredimensjonal: den har lengde, bredde og høyde.

Volum er et mål på hvor mye plass en tredimensjonal gjenstand tar opp. Tenk på en melkekartong, en fotball eller en terning -- alle disse har et volum. Vi måler volum i kubikkenheter -- for eksempel kubikkcentimeter ($\text{cm}^3$), kubikkmeter ($\text{m}^3$) eller kubikkdesimeter ($\text{dm}^3$).

En kubikkcentimeter ($1 \text{ cm}^3$) er en terning der alle kanter er $1$ cm. Volumet til en gjenstand er antall slike terninger du trenger for å fylle den helt opp.

Det fine er at sammenhengen mellom volum og liter er enkel: $1 \text{ dm}^3 = 1$ liter. En melkekartong på 1 liter er altså $1 \text{ dm}^3$!

Volum av rett prisme (kasse)

Den enkleste romfiguren er et rett firkantet prisme -- det vi i dagligtale kaller en kasse eller boks. Tenk på en skobok, en murstein eller et rom.

Volumet er:

$$V = \text{lengde} \times \text{bredde} \times \text{høyde} = l \times b \times h$$

Eksempel: En skobok er $30$ cm lang, $20$ cm bred og $12$ cm høy.

$$V = 30 \times 20 \times 12 = 7\,200 \text{ cm}^3$$

En terning (kube) er et spesialtilfelle der alle kantene har lik lengde $s$:

$$V = s^3$$

Derfor heter det «kubikk»-centimeter -- volumet av en terning med side $1$ cm.

Enhetsomregning:
- $1 \text{ m}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3$ (fordi $100^3 = 1\,000\,000$)
- $1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3 = 1\,000$ liter
- $1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3 = 1$ liter
- $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$ (milliliter)

Ved volumomregning ganger vi med faktoren tre ganger (lengde $\times$ bredde $\times$ høyde -- tre dimensjoner).

Generelle prismer

En prisme er en romfigur der grunnflaten og toppflaten er like og parallelle, og sidene er rektangler. Kassen vi nettopp så på er en prisme med rektangulær grunnflate. Men grunnflaten kan ha hvilken som helst form -- trekant, femkant, sekskant, og så videre.

Formelen for volumet av ethvert prisme er overraskende enkel:

$$V = G \times h$$

der $G$ er arealet av grunnflaten og $h$ er høyden (den vinkelrette avstanden mellom grunnflaten og toppflaten).

Trekantet prisme (f.eks. en Toblerone-boks): Grunnflaten er en trekant med areal $\displaystyle G = \frac{g \times h_{\text{trekant}}}{2}$.

$$V = \frac{g \times h_{\text{trekant}}}{2} \times h_{\text{prisme}}$$

Eksempel: Et trekantet prisme har en trekantformet grunnflate med grunnlinje $6$ cm og trekanthøyde $4$ cm. Prismet er $10$ cm langt.

$$G = \frac{6 \times 4}{2} = 12 \text{ cm}^2$$

$$V = 12 \times 10 = 120 \text{ cm}^3$$

Denne generelle formelen ($V = G \times h$) fungerer for ALLE prismer, uansett formen på grunnflaten. Det gjør den til en av de mest allsidige formlene i geometrien.

Volum av en sylinder

En sylinder er en romfigur med sirkulær grunnflate og toppflate -- som en boks hermetikk eller en rulle papir. Egentlig er en sylinder bare et «sirkulært prisme».

Siden grunnflaten er en sirkel med areal $G = \pi r^2$, får vi:

$$V = G \times h = \pi r^2 \times h = \pi r^2 h$$

Eksempel: En sylinderformet vannflaske har radius $4$ cm og høyde $20$ cm.

$$V = \pi \times 4^2 \times 20 = \pi \times 16 \times 20 = 320\pi \approx 1\,005 \text{ cm}^3$$

Siden $1\,000 \text{ cm}^3 = 1$ liter, rommer flasken omtrent 1 liter. Det stemmer godt!

Eksempel: En rund kake har diameter $24$ cm og er $8$ cm høy. Radius er $r = 12$ cm.

$$V = \pi \times 12^2 \times 8 = \pi \times 144 \times 8 = 1\,152\pi \approx 3\,619 \text{ cm}^3 \approx 3{,}6 \text{ liter}$$

Husk: Pass på om du får oppgitt radius eller diameter! Hvis diameteren er $10$ cm, er radiusen $5$ cm. Det er en av de vanligste feilene.

Volum av en kule

En kule er den tredimensjonale versjonen av en sirkel. Tenk på en fotball, en basketball eller jorden -- alle er (tilnærmet) kuleformede.

Formelen for volumet av en kule er:

$$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$

Denne formelen er vanskeligere å utlede enn de forrige (den krever integrasjon, som du lærer senere), men den er enkel å bruke.

Eksempel: En basketball har diameter $24$ cm. Radius er $r = 12$ cm.

$$V = \frac{4}{3} \pi \times 12^3 = \frac{4}{3} \pi \times 1\,728 = 2\,304\pi \approx 7\,238 \text{ cm}^3 \approx 7{,}2 \text{ liter}$$

Eksempel: En liten glasskule har radius $1{,}5$ cm.

$$V = \frac{4}{3} \pi \times 1{,}5^3 = \frac{4}{3} \pi \times 3{,}375 = 4{,}5\pi \approx 14{,}1 \text{ cm}^3$$

Viktig observasjon: Radiusen er i tredje potens ($r^3$). Det betyr at volumet vokser veldig raskt når radiusen øker. Dobler du radiusen, blir volumet $2^3 = 8$ ganger så stort! En kule med dobbelt så stor radius rommer altså åtte ganger så mye.

Skalering og volum

En spennende egenskap ved volum er hvordan det endrer seg når vi skalerer en figur. Hvis vi forstørrer alle mål med en faktor $k$, endres:

- Lengder med faktor $k$
- Areal med faktor $k^2$
- Volum med faktor $k^3$

Eksempel: En modell av et hus er laget i skala $1 : 50$. Huset er $10$ m langt, $8$ m bredt og $6$ m høyt. Modellen er $20$ cm lang.

- Skaleringsfaktor: $k = 50$
- Modellens volum vs. husets volum: $\displaystyle \frac{1}{50^3} = \frac{1}{125\,000}$

Husets volum: $10 \times 8 \times 6 = 480 \text{ m}^3$

Modellens volum: $\displaystyle \frac{480}{125\,000} = 0{,}00384 \text{ m}^3 = 3\,840 \text{ cm}^3$

Sjekk: $0{,}20 \times 0{,}16 \times 0{,}12 = 0{,}00384 \text{ m}^3$. Stemmer!

Denne «kubikkregelen» forklarer mye i naturen. En elefant er kanskje $4$ ganger så lang som en hund, men den veier ikke $4$ ganger så mye -- den veier rundt $4^3 = 64$ ganger så mye! Det er derfor store dyr trenger tykkere bein i forhold til kroppsstørrelsen.

Oppsummering

Volum måler hvor mye plass en tredimensjonal gjenstand tar opp, i kubikkenheter ($\text{cm}^3$, $\text{m}^3$).

De viktigste formlene:
- Kasse (rett firkantet prisme): $V = l \times b \times h$
- Terning: $V = s^3$
- Prisme (generelt): $V = G \times h$ (grunnflateareal ganger høyde)
- Sylinder: $V = \pi r^2 h$
- Kule: $\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi r^3$

Enhetsomregning:
- $1 \text{ dm}^3 = 1$ liter
- $1 \text{ m}^3 = 1\,000$ liter
- $1 \text{ cm}^3 = 1$ mL

Skalering: forstørrer du alle mål med faktor $k$, endres volumet med $k^3$.