4.3 Areal

Hvor stort er det egentlig?

Forestill deg at du skal male veggen på rommet ditt. Du trenger å vite hvor mye maling du skal kjøpe, og det avhenger av hvor stor veggen er -- ikke hvor lang eller hvor høy den er alene, men hvor mye flate den dekker. Det er arealet.

Areal er et mål på hvor stort et flatt område er. Vi måler det i kvadratenheter -- for eksempel kvadratcentimeter ($\text{cm}^2$), kvadratmeter ($\text{m}^2$) eller kvadratkilometer ($\text{km}^2$).

Tenk deg at du legger fliser på et gulv. Hver flis er $1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm}$, altså $1 \text{ cm}^2$. Arealet er rett og slett hvor mange slike fliser du trenger for å dekke hele gulvet -- uten hull og uten overlapp.

I dette kapittelet skal vi se på formler for arealet til de vanligste figurene og forstå hvorfor formlene fungerer.

Arealet av et rektangel

Det enkleste tilfellet er et rektangel -- en firkant der alle vinklene er $90°$. Hvis rektangelet er $5$ cm langt og $3$ cm bredt, kan du legge $5 \times 3 = 15$ fliser (à $1 \text{ cm}^2$) inni det. Arealet er $15 \text{ cm}^2$.

Formelen er:

$$A = \text{lengde} \times \text{bredde} = l \times b$$

Eksempel: Et rom er $4{,}5$ m langt og $3{,}2$ m bredt. Arealet er:

$$A = 4{,}5 \times 3{,}2 = 14{,}4 \text{ m}^2$$

Et kvadrat er et spesialtilfelle der alle sidene er like lange ($s$):

$$A = s \times s = s^2$$

Derfor heter det «kvadrat»-meter -- arealet av et kvadrat med sider på 1 meter!

Enhetsomregning: $1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2$. Hvorfor? Fordi $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$, og $100 \times 100 = 10\,000$. Husk: ved arealomregning må du gange (eller dele) med omregningsfaktoren to ganger, fordi areal er todimensjonalt.

Arealet av en trekant

En trekant kan alltid tenkes som halvparten av et parallellogram. Men la oss starte med det enkleste: en rettvinklet trekant er halvparten av et rektangel. Tenk deg at du klipper et rektangel diagonalt i to -- du får to like trekanter. Arealet av hver trekant er halvparten av rektangelets areal:

$$A_{\text{trekant}} = \frac{\text{grunnlinje} \times \text{høyde}}{2} = \frac{g \times h}{2}$$

Viktig: Høyden er den vinkelrette avstanden fra grunnlinjen til det motsatte hjørnet. Den er IKKE nødvendigvis en av sidene i trekanten (med mindre trekanten er rettvinklet).

Eksempel: En trekant har grunnlinje $8$ cm og høyde $5$ cm.

$$A = \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm}^2$$

Et nyttig triks: du kan velge hvilken som helst side som grunnlinje. Høyden er da den vinkelrette avstanden til den motsatte hjørnet. Uansett hvilken side du velger, blir arealet det samme.

Hvorfor virker formelen for alle trekanter? Enhver trekant kan «innskrives» i et rektangel med samme grunnlinje og høyde. Trekanten dekker alltid nøyaktig halvparten av dette rektangelet. Du kan overbevise deg selv ved å tegne det -- det fungerer selv for stumpe trekanter.

Arealet av et parallellogram og et trapes

Et parallellogram er en firkant der de motstående sidene er parallelle. Tenk på det som et «skjevt rektangel». Klipper du av en trekant på den ene siden og flytter den til den andre, får du et rektangel. Derfor har et parallellogram og et rektangel med samme grunnlinje og høyde likt areal:

$$A_{\text{parallellogram}} = g \times h$$

Igjen er $h$ den vinkelrette høyden, ikke den skrå siden.

Eksempel: Et parallellogram har grunnlinje $6$ cm og høyde $4$ cm. Arealet er $A = 6 \times 4 = 24 \text{ cm}^2$.

Et trapes har bare to parallelle sider (vi kaller dem $a$ og $b$). Formelen for arealet er:

$$A_{\text{trapes}} = \frac{(a + b) \times h}{2}$$

Her er $a$ og $b$ de to parallelle sidene, og $h$ er den vinkelrette avstanden mellom dem.

Hvorfor denne formelen? Tenk deg at du legger to like trapeser mot hverandre (den ene snudd opp-ned). Sammen danner de et parallellogram med grunnlinje $(a + b)$ og høyde $h$. Arealet av parallellogrammet er $(a + b) \times h$. Trapeset er halvparten: $\displaystyle \frac{(a + b) \times h}{2}$.

Eksempel: Et trapes har parallelle sider $5$ cm og $9$ cm, og høyde $4$ cm.

$$A = \frac{(5 + 9) \times 4}{2} = \frac{14 \times 4}{2} = \frac{56}{2} = 28 \text{ cm}^2$$

Arealet av en sirkel

Sirkelen er en figur der alle punkter har lik avstand til sentrum. Denne avstanden kalles radius ($r$). Diameteren ($d$) er avstanden tvers gjennom sirkelen, og $d = 2r$.

Arealet av en sirkel er:

$$A = \pi r^2$$

Her er $\pi$ (pi) et spesielt tall som er omtrent $3{,}14$. Det er forholdet mellom omkretsen og diameteren til enhver sirkel.

Hvorfor $\pi r^2$? Tenk deg at du klipper en sirkel opp i mange tynne «kakestykker» og legger dem annenhver vei opp og ned. Da får du nesten et parallellogram med grunnlinje $\pi r$ (halve omkretsen) og høyde $r$. Arealet er $\pi r \times r = \pi r^2$.

Eksempel: En sirkel har radius $5$ cm.

$$A = \pi \times 5^2 = \pi \times 25 = 25\pi \approx 78{,}5 \text{ cm}^2$$

Husk: radius er HALVPARTEN av diameteren. Hvis du får oppgitt diameteren $d = 12$ cm, er $r = 6$ cm, og arealet er $\pi \times 6^2 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^2$.

Vanlig feil: Mange glemmer å kvadrere radius og skriver $A = \pi \times r$ i stedet for $A = \pi \times r^2$. Husk at areal handler om flate (todimensjonalt), så det er logisk at vi ganger $r$ med seg selv.

Sammensatte figurer

I virkeligheten møter vi sjelden perfekte rektangler eller sirkler. Ofte er figurer sammensatte -- de er satt sammen av flere enklere figurer.

Strategi for sammensatte figurer:
1. Del figuren opp i kjente former (rektangler, trekanter, sirkler osv.)
2. Beregn arealet av hver del
3. Legg sammen (eller trekk fra, hvis en del er «kuttet ut»)

Eksempel: En L-formet figur kan deles i to rektangler. Et hus sett fra siden kan deles i et rektangel (veggen) og en trekant (taket).

Eksempel med fratrukket areal: Et rektangulært gulv på $6 \times 4 = 24 \text{ m}^2$ har en sirkelformet søyle i midten med radius $0{,}5$ m. Gulvarealet som skal dekkes er:

$$A = 24 - \pi \times 0{,}5^2 = 24 - 0{,}785 \approx 23{,}2 \text{ m}^2$$

Når du jobber med sammensatte figurer, lønner det seg å tegne og markere målene tydelig. Identifiser hvilke deler som skal legges til og hvilke som skal trekkes fra. Ta det steg for steg -- da blir selv kompliserte figurer håndterbare.

Oppsummering

Areal måler størrelsen på en flate i kvadratenheter ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$).

De viktigste formlene:
- Rektangel: $A = l \times b$
- Kvadrat: $A = s^2$
- Trekant: $\displaystyle A = \frac{g \times h}{2}$
- Parallellogram: $A = g \times h$
- Trapes: $\displaystyle A = \frac{(a + b) \times h}{2}$
- Sirkel: $A = \pi r^2$

Husk:
- Høyden er alltid vinkelrett på grunnlinjen
- Sammensatte figurer deles opp i kjente former
- Ved enhetsomregning ganges med faktoren to ganger (fordi areal er todimensjonalt)
- Dobler du radiusen til en sirkel, firedobles arealet