3.1 Bokstavregning

Bokstaver som står for tall

Du har egentlig brukt algebra i årevis uten å tenke på det. Da du lærte formelen for arealet av et rektangel, skrev du kanskje:

$$A = l \times b$$

Her er $A$, $l$ og $b$ bokstaver som står for tall -- lengden og bredden kan ha ulike verdier avhengig av rektangelet. Bokstavene kalles variabler fordi verdien kan variere.

Algebra handler om å bruke bokstaver i stedet for tall for å uttrykke generelle sammenhenger. I stedet for å si «et tall pluss det samme tallet er det dobbelte av tallet», skriver vi elegant:

$$x + x = 2x$$

Dette gjelder uansett hva $x$ er! Enten $x$ er $3$, $100$ eller $0{,}5$ -- summen av to like tall er alltid det dobbelte. Det er kraften i algebra: én formel dekker uendelig mange tilfeller.

Algebraiske uttrykk -- spillereglene

I algebra har vi noen viktige regler for hvordan vi skriver:

Gangetegnet forsvinner: I stedet for $3 \times x$ skriver vi bare $3x$. Og $a \times b$ blir $ab$.
- $5 \times y = 5y$
- $x \times x = x^2$ (x i andre)
- $2 \times a \times b = 2ab$

Tall foran bokstav: Tallet foran variabelen kalles koeffisienten:
- I $7x$ er $7$ koeffisienten og $x$ variabelen
- I $-3y$ er $-3$ koeffisienten
- I $x$ (uten synlig tall) er koeffisienten $1$: $x = 1 \cdot x$

Ledd: Delene av et uttrykk som er skilt med $+$ eller $-$ kalles ledd:
- I uttrykket $3x + 5y - 2$ har vi tre ledd: $3x$, $5y$ og $-2$
- $3x$ og $5y$ er variabelledd (de inneholder en variabel)
- $-2$ er et konstantledd (et fast tall uten variabel)

Like ledd: Ledd med samme variabel opphøyd i samme potens kalles like ledd:
- $3x$ og $7x$ er like ledd (begge har $x$)
- $2x^2$ og $5x^2$ er like ledd (begge har $x^2$)
- $3x$ og $3x^2$ er ikke like ledd (ulik potens)
- $4x$ og $4y$ er ikke like ledd (ulik variabel)

Å forenkle uttrykk -- rydde i algebraen

Å forenkle et algebraisk uttrykk betyr å slå sammen like ledd. Tenk på det som å rydde: alle epler for seg, alle pærer for seg.

Eksempel 1: $3x + 5x = 8x$
Tre x-er pluss fem x-er gir åtte x-er. Enkelt!

Eksempel 2: $7a - 2a + 4a = 9a$
$(7 - 2 + 4) \cdot a = 9a$

Eksempel 3: $5x + 3y + 2x - y$
Samle like ledd: $(5x + 2x) + (3y - y) = 7x + 2y$

Her kan vi ikke forenkle videre -- $7x$ og $2y$ er ulike ledd, like lite som du kan legge sammen $7$ epler og $2$ pærer og få $9$ eplerpærer!

Eksempel 4: $4x^2 + 3x - x^2 + 5x$
Samle like ledd: $(4x^2 - x^2) + (3x + 5x) = 3x^2 + 8x$

Eksempel 5: $2a + 3b - a + 4b - 5$
Samle like ledd: $(2a - a) + (3b + 4b) + (-5) = a + 7b - 5$

Tips: Stryk under like ledd med ulike farger for å holde oversikten!

Å sette inn tall -- verdien av et uttrykk

Når vi kjenner verdien av variablene, kan vi sette inn (substituere) tallene og beregne:

Eksempel 1: Finn verdien av $3x + 7$ når $x = 4$.

$$3 \cdot 4 + 7 = 12 + 7 = 19$$

Eksempel 2: Finn verdien av $2a^2 - 3a + 1$ når $a = 3$.

$$2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 1 = 2 \cdot 9 - 9 + 1 = 18 - 9 + 1 = 10$$

Husk regnerekkefølgen! Potenser kommer før ganging, som kommer før addisjon/subtraksjon.

Eksempel 3: Omkretsen av et rektangel er $O = 2l + 2b$. Finn omkretsen når $l = 8$ cm og $b = 5$ cm.

$$O = 2 \cdot 8 + 2 \cdot 5 = 16 + 10 = 26 \text{ cm}$$

Tips for innsetting med negative tall: Bruk parentes rundt det negative tallet!
Finn $x^2 + 2x$ når $x = -3$:
$$(-3)^2 + 2 \cdot (-3) = 9 + (-6) = 9 - 6 = 3$$

Uten parentesen kan du lett gjøre feil, spesielt med $x^2$ der $(-3)^2 = 9$, men $-3^2 = -9$.

Å lage egne uttrykk

En viktig ferdighet er å oversette hverdagssituasjoner til algebraiske uttrykk. Her er noen eksempler:

Situasjon 1: «Emma er $3$ år eldre enn Sara. Sara er $x$ år gammel.»
Emmas alder: $x + 3$

Situasjon 2: «En kinobillett koster $k$ kroner. Du kjøper $4$ billetter og popcorn til $65$ kr.»
Totalpris: $4k + 65$

Situasjon 3: «Et rektangel har lengde $x$ og bredde som er $3$ mindre enn lengden.»
Bredde: $x - 3$
Areal: $x(x - 3) = x^2 - 3x$
Omkrets: $2x + 2(x - 3) = 2x + 2x - 6 = 4x - 6$

Situasjon 4: «Du sparer $p$ kroner i måneden. Etter $m$ måneder har du spart:»
$p \cdot m$ kroner (eller bare $pm$)

Legg merke til at algebra lar oss uttrykke sammenhenger uten å vite de eksakte tallene. Formelen $4k + 65$ fungerer uansett om kinobilletten koster $100$ kr, $130$ kr eller $150$ kr.

Oppsummering

Variabler er bokstaver som representerer tall. De gjør at vi kan uttrykke generelle sammenhenger.

Nøkkelbegreper: