5.7 Representere funksjoner på ulike måter

Fire sprak for samme historie

Tenk deg at du skal fortelle noen om turen din til fjells. Du kan fortelle om den med ord, vise bilder, lage en tidslinje med stoppesteder, eller skrive ned noyaktige GPS-koordinater. Alle disse matene beskriver den samme turen -- men de fremhever ulike ting.

Pa akkurat samme mate kan vi beskrive en funksjon pa fire ulike mater:

1. Tekst (ord) -- en verbal beskrivelse av sammenhengen
2. Tabell (tall) -- en organisert oversikt over verdier
3. Graf (bilde) -- en visuell fremstilling i koordinatsystemet
4. Formel (algebra) -- et matematisk uttrykk som $f(x) = 2x + 3$

Hver representasjon har sine styrker. Tekst er god for a forsta sammenhengen. Tabellen gir noyaktige verdier. Grafen gir oversikt. Formelen er kompakt og lar oss beregne hva som helst. A kunne veksle mellom dem er en av de viktigste ferdighetene i matematikk.

Fra tekst til formel, tabell og graf

La oss starte med en tekstbeskrivelse og oversette til de andre representasjonene.

Tekst: «En svommepark tar 80 kr i inngangspenger og 20 kr per time.»

Til formel: La $x$ være antall timer og $f(x)$ være totalkostnaden:

$$f(x) = 20x + 80$$

Til tabell: Vi setter inn noen verdier:

Fra tabell til formel

Noen ganger starter vi med en tabell og skal finne formelen. Her er trikset: se etter et monster i tallene.

Eksempel 1: Lineær sammenheng

Tips for a finne formelen fra en tabell:

- Regn ut differansene mellom utgangsverdiene. Lik differanse = lineær funksjon

- Hvis differansene oker jevnt, kan det være en kvadratisk funksjon

- Se pa $x = 0$ for a finne startverdien (konstantleddet $b$)

Fra graf til tabell og formel

Vi kan ogsa ga den andre veien: starte med en graf og lese av informasjon.

Fra graf til tabell: Velg noen $x$-verdier langs $x$-aksen. For hver $x$-verdi, finn punktet pa grafen og les av $y$-verdien. Skriv verdiene i en tabell.

Fra graf til formel (lineær): For en rett linje trenger du to ting:
1. Startverdien $b$: les av der grafen krysser $y$-aksen ($x = 0$)
2. Stigningen $a$: se hvor mye $y$ oker nar $x$ oker med 1

Da er formelen $f(x) = ax + b$.

Eksempel: En rett linje gar gjennom $(0, 3)$ og $(2, 9)$.
- Startverdi: $b = 3$ (krysser $y$-aksen i $y = 3$)
- Stigning: $\displaystyle a = \frac{9 - 3}{2 - 0} = \frac{6}{2} = 3$
- Formel: $f(x) = 3x + 3$

Sjekk: $f(2) = 3 \cdot 2 + 3 = 9$. Stemmer!

Veksle mellom alle fire

Den virkelige kraften kommer nar du kan bevege deg fritt mellom alle fire representasjonene:

$$\text{Tekst} \longleftrightarrow \text{Formel} \longleftrightarrow \text{Tabell} \longleftrightarrow \text{Graf}$$

For eksempel: du far en graf pa en prove. Forst leser du av en tabell. Fra tabellen finner du formelen. Og fra formelen kan du svare med ord pa hva sammenhengen betyr i praksis.

Oppsummering

Funksjoner kan representeres pa fire mater:

- Tekst: «Prisen er 80 kr pluss 20 kr per time» -- god for a forsta sammenhengen i praksis
- Formel: $f(x) = 20x + 80$ -- kompakt, presis, og lar oss beregne hvilken som helst verdi
- Tabell: En oversikt over utvalgte verdier -- gir noyaktige tallpar
- Graf: Et bilde i koordinatsystemet -- gir oversikt over hele oppforselen

Nokkelferdigheter:
- Tekst til formel: Identifiser startverdien ($b$) og endringen per enhet ($a$). Skriv $f(x) = ax + b$.
- Tabell til formel: Finn differansene mellom $y$-verdiene (stigningen) og les av $y$-verdien nar $x = 0$ (startverdien).
- Graf til formel: Les av der grafen krysser $y$-aksen ($b$) og beregn stigningen ($a$).
- Formel til tabell/graf: Sett inn $x$-verdier, regn ut $f(x)$, og plott punktene.

A kunne veksle fritt mellom alle fire representasjonene gir deg et kraftig verktoy for a forsta og lese matematiske sammenhenger.