1.4 Potenser

Ryktet som spredte seg

Tenk deg at du forteller en hemmelighet til to venner. Neste dag forteller hver av dem den videre til to nye, og dagen etter gjør de nye det samme. Etter fire dager er det $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ personer som vet hemmeligheten. Etter ti dager? Da måtte du ha skrevet $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots$ ti ganger — det blir fort slitsomt.

Matematikere er glade i snarveier, og her kommer en av de beste: potensen. I stedet for $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ skriver vi rett og slett $2^4$, som leses «to i fjerde». En potens er en kort måte å skrive gjentatt multiplikasjon på.

I denne fortellingen skal vi bli kjent med potenser: hva de betyr, hvorfor tierpotensene er ekstra nyttige, og noen smarte regler som gjør at du kan regne med potenser uten å gange ut alt.

Grunntall og eksponent

En potens består av to deler. Tallet som skal ganges med seg selv, kaller vi grunntallet. Det lille, hevede tallet som forteller hvor mange ganger, kaller vi eksponenten. Generelt skriver vi $a^n$ for $a$ ganget med seg selv $n$ ganger.

La oss se på noen eksempler. $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$ — her er 3 grunntallet og 2 eksponenten, og vi leser det «tre i andre». $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$. Og $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

Her lurer den vanligste fellen i hele kapittelet: $2^3$ er ikke $2 \cdot 3 = 6$. Eksponenten er ikke et tall du skal gange med — den er en teller som sier hvor mange ganger grunntallet skal stå i gangestykket. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Potenser vokser lynraskt. Mens $2 \cdot 5 = 10$, er $2^5 = 32$. Og ryktet vårt fra starten? Etter ti dager kjenner $2^{10} = 1024$ personer hemmeligheten. Det er derfor man sier at noe «sprer seg eksponentielt» når det vokser veldig fort.

Tierpotensene — tallenes byggeklosser

Blant alle potenser er det én familie som fortjener spesiell oppmerksomhet: tierpotensene. De gir oss de runde tallene vi bruker hver eneste dag. $10^1 = 10$, $10^2 = 100$, $10^3 = 1000$ (tusen), $10^4 = 10\,000$, $10^5 = 100\,000$, og $10^6 = 1\,000\,000$ — en hel million.

Ser du mønsteret? Eksponenten forteller nøyaktig hvor mange nuller tallet har! $10^3$ har tre nuller, og $10^6$ har seks. Det gjør tierpotensene til et perfekt verktøy for å skrive store tall kort. En million kroner kan du skrive som $10^6$ kroner — tre tegn i stedet for sju siffer.

Dette er grunnen til at plassverdisystemet vårt fungerer som det gjør: tallet 3 457 betyr egentlig 3 tusenere, 4 hundrere, 5 tiere og 7 enere — altså tre $10^3$, fire $10^2$, fem $10^1$ og sju enere. Hele tallsystemet vårt er bygget av tierpotenser, omtrent som et byggverk av klosser i ti forskjellige størrelser.

Smarte regler for potensregning

Hva skjer hvis vi ganger to potenser med samme grunntall, for eksempel $2^3 \cdot 2^4$? Skriver vi det ut, ser vi $( 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)$ — til sammen sju toere på rad. Altså $2^7$. Den første regelen er derfor: når du ganger potenser med samme grunntall, legger du sammen eksponentene: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. For eksempel $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$.

Den andre regelen handler om deling. I $5^6 \div 5^2$ kan to femmere i nevneren forkortes bort mot to i telleren, og da står det igjen fire: $5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 = 625$. Når du deler potenser med samme grunntall, trekker du eksponentene fra hverandre: $a^m \div a^n = a^{m-n}$.

Den tredje regelen gjelder potens av potens: $(2^3)^2$ betyr $2^3 \cdot 2^3$, altså $2^6 = 64$. Da ganger du eksponentene: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Et eksempel til slutt: skal du forenkle $3^4 \cdot 3^2$, bruker du regel 1 og får $3^{4+2} = 3^6 = 729$ — uten å gange ut en eneste treer underveis. Men husk det viktigste kravet: reglene gjelder bare når grunntallene er like. $2^3 \cdot 5^2$ kan ikke slås sammen på denne måten.

Den korte måten å skrive stort på

Fortellingen begynte med et rykte som doblet seg dag for dag, og det ga oss potensen: en kortskrift for gjentatt multiplikasjon. I $a^n$ er $a$ grunntallet og $n$ eksponenten, så $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Den viktigste fellen å unngå husker du nå: $2^3$ er 8, ikke 6 — eksponenten teller hvor mange ganger grunntallet står i gangestykket.

Tierpotensene viste seg å være tallsystemets byggeklosser: $10^3 = 1000$, $10^6$ er en million, og eksponenten avslører antall nuller. Store tall blir plutselig korte og oversiktlige.

Til slutt fikk du tre regneregler som sparer deg for mye arbeid, så lenge grunntallene er like: gang potenser ved å legge sammen eksponentene ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), del ved å trekke dem fra hverandre ($a^m \div a^n = a^{m-n}$), og ta potens av potens ved å gange dem ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).

Neste gang du hører at noe «vokser eksponentielt», vet du nøyaktig hva som skjer: det dobler og dobler seg, akkurat som ryktet ditt.