1.1 Negative tall

Kaldere enn null

Du våkner en vintermorgen og kikker på termometeret utenfor vinduet. Det viser $-10$ grader. Ti grader under null! Du har akkurat møtt et negativt tall — et tall som er mindre enn null. Vi skriver negative tall med et minustegn foran, som $-3$, $-7$ eller $-15$.

Negative tall dukker opp overalt når du først begynner å se etter dem. Termometeret viser $-10°C$ når det er ti kuldegrader. En dykker som svømmer 50 meter under havoverflaten, befinner seg på $-50$ meter. Og hvis du skylder en venn 200 kroner, kan vi si at du har $-200$ kroner — du er i minus!

I denne fortellingen skal vi bli kjent med de negative tallene: hvor de bor på tallinjen, hvordan vi legger dem sammen, og hvordan vi trekker dem fra hverandre. Det høres kanskje rart ut å regne med tall som er mindre enn ingenting, men du skal se at det følger noen enkle regler som alltid fungerer.

Tallinjen — tallenes gate

Tenk deg at alle tallene bor langs en lang, rett gate. Midt i gata står huset til null. Til høyre for null bor de positive tallene: $1, 2, 3$ og så videre. Til venstre bor de negative: $-1, -2, -3$ og videre utover. Denne gata kaller vi tallinjen.

Her er noe viktig: jo lenger til venstre et tall bor, jo mindre er det. Det betyr at $-5$ faktisk er mindre enn $-2$, selv om femtallet ser større ut. Tenk på temperatur: $-5°C$ er kaldere enn $-2°C$, så $-5 < -2$.

Hvis du skal sortere tallene $3, -5, 0, -2, 7, -7$ fra minst til størst, går du bare langs tallinjen fra venstre mot høyre: $-7$ er lengst til venstre, så kommer $-5$, deretter $-2$, så $0$, så $3$, og til slutt $7$. Altså: $-7 < -5 < -2 < 0 < 3 < 7$.

Det finnes også et eget ord for hvor langt et tall bor fra null, uansett retning: tallverdien, også kalt absoluttverdi. Både $5$ og $-5$ har tallverdi 5, fordi begge bor fem skritt fra null — bare på hver sin side av gata.

Å legge sammen — hopp langs tallinjen

Nå som vi vet hvor tallene bor, kan vi begynne å bevege oss mellom dem. Når du legger til et positivt tall, hopper du til høyre på tallinjen. Når du legger til et negativt tall, hopper du til venstre.

La oss prøve. Hva er $5 + (-3)$? Du starter på 5 og hopper 3 til venstre — og lander på 2. Å legge til $-3$ er altså det samme som å trekke fra 3. Hva med $-4 + 7$? Start på $-4$, hopp 7 til høyre: du passerer null og lander på 3. Og $-3 + (-5)$? Start på $-3$, hopp 5 til venstre, og du ender på $-8$.

Etter hvert trenger du ikke tegne tallinjen hver gang, for det finnes to greie regler. Har tallene samme fortegn, legger du sammen tallverdiene og beholder fortegnet: $(-3) + (-5) = -8$. To kuldegrader-tall blir bare enda kaldere sammen!

Har tallene forskjellig fortegn, finner du differansen mellom tallverdiene, og lar tallet med størst tallverdi bestemme fortegnet. For eksempel: $(-8) + 5 = -3$, fordi 8 er større enn 5 og åtteren er negativ. Men $(-3) + 7 = 4$, fordi 7 er størst og positiv. Tenk på det som en dragkamp mellom pluss-laget og minus-laget — det sterkeste laget vinner, men bare med differansen.

Å trekke fra — og det rare med minus minus

Subtraksjon med negative tall har en hemmelighet som gjør alt enklere: å trekke fra et tall er det samme som å legge til det motsatte tallet. Med symboler: $a - b = a + (-b)$, og $a - (-b) = a + b$.

Den siste regelen overrasker mange. Minus minus blir pluss? Ja! Tenk deg at du skylder noen penger — du har gjeld. Hvis noen fjerner gjelden din, er det akkurat som å gi deg penger. Å trekke fra noe negativt gjør deg rikere.

La oss se reglene i bruk. $5 - 8$ blir $5 + (-8) = -3$. $3 - (-4)$ blir $3 + 4 = 7$ — minus og minus ble pluss. $-2 - 5$ blir $-2 + (-5) = -7$. Og $-6 - (-3)$ blir $-6 + 3 = -3$.

Når to fortegn står ved siden av hverandre, gjelder alltid: like fortegn gir pluss, ulike fortegn gir minus. Altså blir $-(-)$ til pluss, mens $+(-)$ og $-(+)$ begge blir minus.

Til slutt et eksempel fra værmeldingen. En morgen er det $-12°C$. Utover dagen stiger temperaturen med 18 grader: $-12 + 18 = 6$, altså seks varmegrader. Men om kvelden synker den med 7 grader: $6 - 7 = -1$. Om kvelden er det $-1°C$. Ser du hvordan tallinjen hjelper deg å holde tunga rett i munnen — opp og ned, fram og tilbake forbi null?

Tallene på begge sider av null

I denne fortellingen har du blitt kjent med tallene som bor til venstre for null. Du har lært at tallinjen er et kart der negative tall ligger til venstre, og at jo lenger til venstre et tall ligger, jo mindre er det — derfor er $-5$ mindre enn $-2$, akkurat som fem kuldegrader er kaldere enn to.

Når du legger sammen tall, hopper du langs tallinjen: til høyre for positive tall, til venstre for negative. Har tallene samme fortegn, legger du sammen og beholder fortegnet. Har de ulikt fortegn, blir det dragkamp — differansen vinner, med fortegnet til det tallet som har størst tallverdi.

Den viktigste oppdagelsen var kanskje at å trekke fra er det samme som å legge til det motsatte: $a - b = a + (-b)$. Og når to minustegn møtes, blir de til pluss: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$. Husk historien om gjelden — å fjerne gjeld er det samme som å få penger.

Neste gang du ser termometeret krype under null, vet du nøyaktig hva som skjer på tallinjen.