3.2 Volum og overflate

Betongbilen er bestilt — men hvor mye?

Entreprenøren Karim skal støpe fundamentet til en garasje. Betongbilen er bestilt til torsdag, og leverandøren vil vite én ting: hvor mange kubikkmeter? Bestiller Karim for lite, stopper arbeidet midt i støpen. Bestiller han for mye, betaler han dyrt for betong som ender som spesialavfall.

Dette er volumberegning i praksis. Volum er mengden plass en tredimensjonal figur opptar, og måles i kubikkenheter som m³ og cm³ — eller i liter. Overflate er det totale arealet av alle flatene på figuren, målt i kvadratenheter som m².

De to begrepene svarer på ulike spørsmål i arbeidshverdagen. Volumet forteller hvor mye betong som trengs, hvor mange liter en tank rommer, hvor mye en varebil kan laste. Overflaten forteller hvor mye maling en ståltank trenger, hvor mye isolasjon som skal rundt et rør, hvor mye plast som kreves for å pakke inn en pall.

I dette kapittelet regner vi på Karims fundament, lærer formlene for kasser og sylindre, og kobler volum til både liter, kroner og kilo — for på byggeplassen henger alle tre sammen.

Volum av kasser og sylindre

Karims fundament er en avlang kasse: 8 m langt, 0,6 m bredt og 0,3 m høyt. For et rett prisme — en kasseform — er volumet lengde ganger bredde ganger høyde:

$$V = l \cdot b \cdot h = 8 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 1{,}44 \text{ m}^3$$

Betongen koster 1 850 kr per m³ levert, så grunnprisen blir $1{,}44 \cdot 1\,850 = 2\,664$ kr.

Den andre arbeidshesten er sylinderen — tanker, rør, bøtter og siloer. Volumet er grunnflatens areal ganger høyden:

$$V = \pi r^2 h$$

En sylindertank med radius 0,5 m og høyde 2 m rommer $\pi \cdot 0{,}5^2 \cdot 2 = \pi \cdot 0{,}5 \approx 1{,}57$ m³.

Og hvor mange liter er det? Her trenger du enhetssammenhengen som alle i praktiske fag bør kunne på rams: 1 m³ = 1 000 liter, og 1 dm³ = 1 liter. Tanken på 1,57 m³ rommer altså omtrent 1 570 liter.

Når du regner volum, må alle målene være i samme enhet før du ganger. Et fundament målt i meter gir m³; blander du inn centimeter uten å regne om, blir svaret håpløst feil — gjerne med en faktor på hundre tusen. Regn om først, gang etterpå.

Svinn, kilo og overflate

Tilbake til betongbestillingen. Leverandøren anbefaler å bestille 10 % ekstra for svinn — betong setter seg, noe blir igjen i pumpa, og grunnen er sjelden helt jevn. Karim ganger med vekstfaktoren:

$$1{,}44 \cdot 1{,}10 = 1{,}584 \text{ m}^3$$

Prisen blir da $1{,}584 \cdot 1\,850 = 2\,930{,}40$ kr — drøyt 266 kr ekstra for å være sikker på å fullføre støpen. Billig forsikring.

Volum henger også sammen med vekt gjennom tettheten, massen per volumenhet:

$$\text{masse} = \text{volum} \cdot \text{tetthet}$$

Betong har tetthet på omtrent 2 400 kg/m³, så Karims fundament veier $1{,}44 \cdot 2\,400 = 3\,456$ kg — nesten tre og et halvt tonn. Det tallet er viktig for alt fra grunnforhold til hva tilhengeren tåler.

Til slutt overflaten. For en lukket kasse er overflaten summen av alle seks sidene:

$$O = 2(lb + lh + bh)$$

Overflate brukes når noe skal dekkes: skal en ståltank males eller et ventilasjonsrør isoleres, er det ikke volumet, men overflaten som bestemmer materialbehovet. Et godt kontrollspørsmål før du regner er derfor: fyller jeg noe, eller dekker jeg noe? Fylling er volum, dekking er overflate — og svaret avgjør hvilken formel du skal hente frem.

Oppsummering

Karim fikk støpt fundamentet uten stans og uten betongrester til kanting — fordi regnestykket var gjort på forhånd. Volum måler hvor mye plass noe fyller: for en kasse er $V = l \cdot b \cdot h$, for en sylinder $V = \pi r^2 h$, og enhetene henger sammen ved at 1 m³ er 1 000 liter og 1 dm³ er 1 liter.

Fra volum kommer du videre til både pris og vekt. Kostnaden er volum ganger pris per kubikkmeter — husk svinnpåslaget med vekstfaktor, slik Karims 1,44 m³ ble til en bestilling på 1,584 m³. Vekten finner du med tettheten: masse er volum ganger tetthet, og med betongens 2 400 kg/m³ veide fundamentet 3 456 kg.

Overflaten er samlet areal av alle flatene — for en lukket kasse $2(lb + lh + bh)$ — og det er den som styrer behovet når noe skal males, isoleres eller pakkes inn. Husk kontrollspørsmålet: skal du fylle (volum) eller dekke (overflate)? Med det skillet klart, og alle mål i samme enhet, er du rustet for både betongbil og malerkost.