2.9 Praktisk bruk av andregradslikninger

Når $x^2$ dukker opp i virkeligheten

Du har allerede lært å løse andregradslikninger med faktorisering, fullstendig kvadrat og abc-formelen. Men hvorfor finnes disse likningene egentlig? Svaret er at de dukker opp overalt i den virkelige verden. Når du beregner arealet av en hage, følger banen til en ball som kastes opp i luften, eller bruker Pytagoras' setning til å finne sidelengder i en trekant -- da ender du opp med andregradslikninger.

Det som gjør disse oppgavene spesielle er at du ofte får to matematiske løsninger, men bare en av dem gir mening i den praktiske sammenhengen. En sidelengde kan ikke være negativ, og tiden kan ikke være negativ (med mindre du har en tidsmaskin). Derfor er det siste steget alltid like viktig: sjekk om løsningen gir mening. I dette kapittelet skal vi se på fire typer praktiske problemer der andregradslikninger er nøkkelen til svaret.

Arealproblemer -- når lengde ganger bredde gir $x^2$

Areal av et rektangel er lengde ganget med bredde. Hvis begge dimensjonene avhenger av den samme ukjente $x$, blir arealet et andregradsuttrykk. Det er her andregradslikningene kommer inn.

Tenk deg at du har et rektangel der du kjenner både omkretsen og arealet, men ikke de eksakte sidene. Omkretsen er 28 cm og arealet er 48 cm$^2$. La lengden være $x$ og bredden $y$. Fra omkretsen får vi $2x + 2y = 28$, altså $x + y = 14$, som gir $y = 14 - x$. Fra arealet har vi $x \cdot y = 48$. Setter vi inn $y = 14 - x$ får vi:

$$x(14 - x) = 48$$
$$14x - x^2 = 48$$
$$x^2 - 14x + 48 = 0$$

Vi faktoriserer: $(x - 6)(x - 8) = 0$, som gir $x = 6$ eller $x = 8$. Begge løsningene er gyldige -- den ene gir lengde 8 og bredde 6, den andre gir lengde 6 og bredde 8. Rektangelet er det samme uansett.

Et annet klassisk problem: en hage er 5 meter lengre enn den er bred, og arealet er 150 m$^2$. La bredden være $x$. Da er lengden $x + 5$, og arealet gir $x(x + 5) = 150$, altså $x^2 + 5x - 150 = 0$. Med abc-formelen: $\displaystyle x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 600}}{2} = \frac{-5 \pm 25}{2}$. Det gir $x = 10$ eller $x = -15$. Siden bredden ikke kan være negativ, er svaret 10 m bred og 15 m lang.

Kastebevegelse -- ballen som følger en parabel

Når du kaster en ball rett opp i luften, følger høyden en andregradsfunksjon av tiden. Formelen er $\displaystyle h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0$, der $g \approx 10$ m/s$^2$ er tyngdeakselerasjonen, $v_0$ er starthastigheten og $h_0$ er starthøyden. I praksis bruker vi ofte den forenklede versjonen $h(t) = -5t^2 + v_0 t$ når vi kaster fra bakkenivå.

La oss si at en ball kastes rett opp fra bakken med fart 20 m/s, slik at $h(t) = -5t^2 + 20t$. Når er ballen 15 meter over bakken? Vi setter $h(t) = 15$:

$$-5t^2 + 20t = 15$$
$$-5t^2 + 20t - 15 = 0$$

Vi deler hele likningen på $-5$: $t^2 - 4t + 3 = 0$. Faktorisering gir $(t - 1)(t - 3) = 0$, altså $t = 1$ eller $t = 3$.

Her er det fantastiske: ballen er 15 meter over bakken to ganger! Først etter 1 sekund, på vei opp, og så igjen etter 3 sekunder, på vei ned. Dette gir perfekt mening fysisk -- ballen stiger, når et toppunkt, og faller tilbake ned. Andregradslikningen fanger denne symmetrien.

Du kan også finne når ballen treffer bakken igjen ved å sette $h(t) = 0$: $-5t^2 + 20t = 0$, altså $-5t(t - 4) = 0$. Det gir $t = 0$ (starten) eller $t = 4$ sekunder (landingen). Og det høyeste punktet? Det er toppunktet til parabelen, ved $\displaystyle t = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2 \cdot (-5)} = 2$ sekunder, med høyde $h(2) = -5 \cdot 4 + 20 \cdot 2 = 20$ meter.

Pytagoras -- den rettvinklede trekantens hemmelighet

Pytagoras' setning sier at i en rettvinklet trekant er $a^2 + b^2 = c^2$, der $c$ er hypotenusen (den lengste siden) og $a$ og $b$ er katetene. Denne formelen inneholder andregradsuttrykk, og når du skal finne ukjente sidelengder ender du ofte med en andregradslikning.

Her er et typisk problem: i en rettvinklet trekant er den ene kateten 2 cm lengre enn den andre, og hypotenusen er 10 cm. Finn katetene. La den korteste kateten være $x$. Den andre er $x + 2$. Pytagoras gir oss:

$$x^2 + (x + 2)^2 = 10^2$$

Vi regner ut $(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$:

$$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100$$
$$2x^2 + 4x + 4 = 100$$
$$2x^2 + 4x - 96 = 0$$

Vi deler på 2: $x^2 + 2x - 48 = 0$. Faktorisering: $(x + 8)(x - 6) = 0$, altså $x = -8$ eller $x = 6$. Siden en lengde ikke kan vare negativ, er $x = 6$. Katetene er 6 cm og 8 cm. Sjekk: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. Pytagoras er fornøyd.

Her er en variasjon som er litt mer hverdagslig: en stige på 5 meter står mot en vegg. Bunnen av stigen er 1 meter lenger fra veggen enn toppen er opp på veggen. Hvor høyt opp kommer stigen? La høyden opp på veggen være $x$. Avstanden fra veggen er da $x + 1$. Pytagoras gir $x^2 + (x + 1)^2 = 25$, altså $2x^2 + 2x + 1 = 25$, som gir $2x^2 + 2x - 24 = 0$, altså $x^2 + x - 12 = 0$. Faktorisering: $(x + 4)(x - 3) = 0$. Vi forkaster $x = -4$ og får $x = 3$. Stigen når 3 meter opp, med bunnen 4 meter fra veggen. Sjekk: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Tallproblemer -- når produktet av tall gir andregradsligning

Til slutt ser vi på en type oppgave som er enklere i sin form, men som likevel krever andregradslikninger: tallproblemer der produktet av to tall inngår. Produktet av to tall som begge avhenger av $x$ gir nemlig et $x^2$-ledd.

Produktet av to påfølgende positive hele tall er 132. Hvilke tall er det? La det første tallet vare $n$. Det neste er $n + 1$. Produktet gir oss:

$$n(n + 1) = 132$$
$$n^2 + n - 132 = 0$$

Vi faktoriserer: $(n + 12)(n - 11) = 0$. Det gir $n = -12$ eller $n = 11$. Siden vi ser etter positive tall, er svaret 11 og 12. Sjekk: $11 \cdot 12 = 132$. Stemmer!

Her er en variant: "Summen av et tall og kvadratet av tallet er 72." La tallet vare $x$. Da har vi $x + x^2 = 72$, altså $x^2 + x - 72 = 0$. Vi faktoriserer: $(x + 9)(x - 8) = 0$. Det positive svaret er $x = 8$. Sjekk: $8 + 64 = 72$.

En litt annen vri: "Produktet av to påfølgende partall er 168." Partall har avstanden 2, så vi lar det første vare $n$ og det neste $n + 2$. Da er $n(n + 2) = 168$, altså $n^2 + 2n - 168 = 0$. Faktorisering: $(n + 14)(n - 12) = 0$. Det positive svaret er $n = 12$, og de to partallene er 12 og 14. Sjekk: $12 \cdot 14 = 168$.

I alle disse eksemplene er mønsteret det samme: vi setter opp en andregradslikning, løser den, og velger den løsningen som gir mening. Det viktige er å oversette problemet til matematikk presist, og alltid vurdere svarene i lys av det oppgaven spør om.

Å tolke og forkaste løsninger

Vi har nå sett fire typer oppgaver der andregradslikninger oppstår naturlig, og et gjennomgående tema har vart at vi ofte må forkaste en av de to løsningene. La oss se nærmere på hvorfor dette skjer og hvordan vi tenker rundt det.

Når vi løser $x^2 - 14x + 48 = 0$ og får $x = 6$ og $x = 8$, er begge løsningene gyldige fordi begge gir positive sidelengder. Men når vi løser $x^2 + 5x - 150 = 0$ og får $x = 10$ og $x = -15$, må vi forkaste $x = -15$ fordi en bredde ikke kan vare negativ. Og i kastebevegelse gir $t = 0$ teknisk sett en løsning av $h(t) = 0$, men det er bare starttidspunktet, ikke det vi leter etter.

Her er noen tommelfingerregler for tolkning. Lengder, bredder og høyder må vare positive. Tid kan ikke vare negativ (vi leter etter hendelser i fremtiden, ikke fortiden). Antall enheter (personer, billetter, bøker) må vare positive hele tall. Og noen ganger gir begge løsningene mening, som i arealproblemet der $x = 6$ og $x = 8$ ga det samme rektangelet sett fra to sider.

Det er også verdt å merke seg at noen ganger gir andregradslikningen ingen gyldige løsninger. Hvis diskriminanten er negativ, finnes det ingen reelle løsninger, og det betyr at problemet slik det er beskrevet faktisk er umulig. For eksempel: "Et rektangel har omkrets 10 cm og areal 100 cm$^2$" gir en likning uten reelle løsninger, fordi et slikt rektangel rett og slett ikke kan eksistere.

Å løse praktiske problemer handler altså om mer enn ren regning. Det handler om å forstå hva tallene betyr.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi sett at andregradslikninger dukker opp naturlig i fire typer praktiske problemer. Arealproblemer oppstår fordi areal er lengde ganget med bredde, og når begge dimensjonene uttrykkes med samme variabel får vi et $x^2$-ledd. Kastebevegelse beskrives av formelen $h(t) = -5t^2 + v_0 t + h_0$, der to tidspunkter ofte svarer til "på vei opp" og "på vei ned". Pytagoras' setning $a^2 + b^2 = c^2$ gir andregradslikninger når vi setter inn uttrykk med variabler for sidelengdene. Og tallproblemer der produktet av to avhengige tall inngår fører også til $x^2$.

Fremgangsmåten er den samme som for lineære tekstoppgaver, men med et ekstra steg: les nøye, innfør variabel, sett opp likningen, løs den (her med faktorisering, fullstendig kvadrat eller abc-formelen), og til slutt forkast løsninger som ikke gir mening i konteksten. Husk at lengder, bredder, høyder og antall alltid må vare positive, og at tid normalt ikke kan vare negativ.