7.5 Kjennetegn ved funksjoner

Å bli kjent med en funksjon

Tenk på hvordan du beskriver en person du kjenner godt: ikke bare navnet, men personligheten -- hva som får dem opp om morgenen, hvor grensene går, når de er på topp. Funksjoner kan beskrives på samme måte. I stedet for bare å sette inn $x$-verdier og regne ut $y$-verdier, kan vi spørre om helheten: Hvilke $x$-verdier kan vi bruke? Hvilke $y$-verdier kan funksjonen gi? Hvor krysser grafen $x$-aksen? Finnes det høyeste eller laveste punkter? Hvor stiger grafen, og hvor synker den?

Å svare på slike spørsmål kalles å drøfte funksjonen -- og det er nettopp det dette kapittelet handler om. Vi skal bygge opp en verktøykasse av kjennetegn: definisjonsmengde, verdimengde, nullpunkter, topp- og bunnpunkter, vekstfart, symmetri og asymptoter. Til slutt skal du kunne ta en hvilken som helst funksjon og tegne et komplett portrett av den.

Definisjonsmengde og verdimengde -- inngang og utgang

En funksjon er som en maskin: du mater inn en $x$-verdi, og ut kommer en $y$-verdi. De to første spørsmålene i enhver drøfting er da: hva kan maskinen ta imot, og hva kan den levere?

Definisjonsmengden $D_f$ er mengden av alle $x$-verdier vi kan sette inn i funksjonen. Verdimengden $V_f$ er mengden av alle $y$-verdier funksjonen kan gi.

For den lineære funksjonen $f(x) = 2x + 3$ er begge ubegrensede: du kan sette inn hva som helst, og du kan treffe enhver $y$-verdi. Altså $D_f = \mathbb{R}$ og $V_f = \mathbb{R}$ -- symbolet $\mathbb{R}$ betyr alle reelle tall.

Men se på $g(x) = x^2$. Inngangen er fortsatt fri, $D_g = \mathbb{R}$ -- men utgangen er ikke det! Et kvadrat kan aldri bli negativt, så $V_g = [0, \to\rangle$: bare null og positive verdier. Og $\displaystyle h(x) = \frac{1}{x}$ har et hull i inngangen: $x = 0$ er forbudt (deling på null!), så $D_h = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ -- alle tall unntatt null.

To eksempler til som vi får bruk for. For $f(x) = -x^2 + 4$ gjelder: siden $-x^2 \leq 0$ for alle $x$, er $f(x) \leq 4$, med toppunkt i $(0, 4)$ -- altså $V_f = \langle\leftarrow, 4]$. Og eksponentialfunksjonen $g(x) = 3^x$ er alltid strengt positiv: den nærmer seg null mot venstre uten å nå det, og vokser uten grense mot høyre, så $V_g = \langle 0, \to\rangle$.

Nullpunkter -- der grafen treffer bakken

Neste kjennetegn: hvor krysser grafen $x$-aksen? Et nullpunkt er en $x$-verdi $x_0$ der funksjonen er null, altså $f(x_0) = 0$. Grafisk er det der grafen skjærer eller tangerer $x$-aksen -- og vi finner nullpunktene ved å løse likningen $f(x) = 0$.

For lineære funksjoner er det én rask likning: $f(x) = 2x - 6 = 0$ gir $x = 3$. Eller $f(x) = 3x + 12 = 0$, som gir $3x = -12$ og dermed $x = -4$.

Andregradsfunksjoner kan ha to nullpunkter. Ta $g(x) = x^2 - 9$: likningen $x^2 = 9$ har løsningene $x = 3$ og $x = -3$ -- grafen, en parabel, dukker under $x$-aksen mellom dem og krysser to steder. Eller $g(x) = x^2 - 5x + 6$, som kan faktoriseres: $(x-2)(x-3) = 0$ gir nullpunktene $x = 2$ og $x = 3$. Generelt har en andregradsfunksjon $0$, $1$ eller $2$ nullpunkter, avhengig av om parabelen ligger helt over (eller under) aksen, berører den så vidt, eller krysser den.

Og noen funksjoner treffer aldri bakken: eksponentialfunksjonen $h(x) = 3^x$ er alltid strengt positiv, så likningen $3^x = 0$ har ingen løsning -- rene eksponentialfunksjoner har ingen nullpunkter. Men varianter kan ha det: $h(x) = 2 \cdot 0{,}5^x - 8 = 0$ gir $0{,}5^x = 4$, og siden $0{,}5^{-2} = 2^2 = 4$, er nullpunktet $x = -2$.

Nullpunktene er ofte de mest meningsfulle punktene i praktiske modeller: der overskuddet passerer null, der ballen treffer bakken, der temperaturen krysser frysepunktet.

Toppunkter, bunnpunkter og vekstfart

Nå til funksjonens dramatiske høydepunkter. Et toppunkt er et punkt der funksjonen har en lokal høyeste verdi -- grafen stiger opp til det og synker etterpå. Et bunnpunkt er motsatt: en lokal laveste verdi, der grafen snur fra synkende til stigende.

For andregradsfunksjoner $f(x) = ax^2 + bx + c$ er reglene klare. Fortegnet til $a$ bestemmer formen: er $a > 0$, vender parabelen oppover som en smilemunn og har ett bunnpunkt; er $a < 0$, vender den nedover og har ett toppunkt. Og plasseringen har sin egen formel -- ekstremalpunktet ligger ved

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Prøv på $f(x) = x^2 - 6x + 5$: her er $a = 1 > 0$, altså bunnpunkt, ved $\displaystyle x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$. Verdien der er $f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$, så bunnpunktet er $(3, -4)$. Og for $g(x) = -2x^2 + 8x + 3$: $a = -2 < 0$ gir toppunkt, ved $\displaystyle x = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2$, med $g(2) = -8 + 16 + 3 = 11$ -- toppunktet er $(2, 11)$.

Tett knyttet til dette er vekstfarten: hvor raskt funksjonen endrer seg. En funksjon er stigende i et intervall der $f(x)$ øker når $x$ øker (grafen går oppover mot høyre) og synkende der $f(x)$ minker. Lineære funksjoner er enklest: vekstfarten er konstant lik stigningstallet $a$ -- alltid stigende hvis $a > 0$, alltid synkende hvis $a < 0$. For andre funksjoner varierer vekstfarten, og ekstremalpunktene er vendepunktene i fortellingen: funksjonen med bunnpunkt i $x = 3$ er synkende for $x < 3$ og stigende for $x > 3$.

Symmetri, asymptoter -- og det store portrettet

To kjennetegn til fullfører verktøykassen. Det første er symmetri. Noen funksjoner er symmetriske om $y$-aksen: speiler du grafen i aksen, ser den lik ut. Det skjer når $f(-x) = f(x)$ for alle $x$ -- som for $x^2$, $x^4$ og $|x|$ (såkalte partall-funksjoner). Andre er symmetriske om origo, med $f(-x) = -f(x)$ -- som $x^3$ og $x$ (oddetall-funksjoner). Og andregradsfunksjoner har alltid en vertikal symmetrilinje gjennom topp- eller bunnpunktet: linjen $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$. Derfor ligger ekstremalpunktet alltid midt mellom nullpunktene!

Det andre er asymptoter: linjer som grafen nærmer seg mer og mer uten å treffe. En horisontal asymptote er en $y$-verdi grafen flater ut mot når $x$ blir veldig stor eller veldig liten -- $f(x) = 3^x$ har horisontal asymptote $y = 0$, som grafen kryper langs mot venstre uten å krysse. En vertikal asymptote er en $x$-verdi der grafen «sprenger» mot uendelig -- $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ har vertikal asymptote $x = 0$ (og horisontal $y = 0$). Asymptoter møter vi oftest i eksponential- og brøkfunksjoner.

La oss avslutte med en komplett drøfting av $f(x) = -x^2 + 4x + 5$. Definisjonsmengde: $D_f = \mathbb{R}$. Nullpunkter: $-x^2 + 4x + 5 = 0$ gir $x = -1$ og $x = 5$. Ekstremalpunkt: $a = -1 < 0$ gir toppunkt ved $\displaystyle x = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$, med $f(2) = -4 + 8 + 5 = 9$ -- toppunkt $(2, 9)$, pent plassert midt mellom nullpunktene. Verdimengde: $V_f = \langle\leftarrow, 9]$. Monotoni: stigende for $x < 2$, synkende for $x > 2$. Der har du det -- et fullstendig portrett av funksjonen, tegnet med fem spørsmål.

Oppsummering

Vi lærte å tegne et komplett portrett av en funksjon -- å drøfte den, som det heter på fagspråket.

Portrettet bygges av faste spørsmål. Definisjonsmengden $D_f$ er alle tillatte $x$-verdier, verdimengden $V_f$ alle mulige $y$-verdier -- husk at $x^2$ aldri blir negativ, og at $3^x$ alltid er strengt positiv. Nullpunktene finner vi ved å løse $f(x) = 0$: lineære funksjoner har høyst ett, parabler opptil to, rene eksponentialfunksjoner ingen.

Ekstremalpunktene er parabelens dramatiske vendepunkt: $a > 0$ gir bunnpunkt, $a < 0$ toppunkt, alltid ved $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ -- på symmetrilinjen, midt mellom nullpunktene. Rundt dem skifter vekstfarten: funksjonen er stigende der grafen går oppover og synkende der den går nedover, mens lineære funksjoner holder konstant fart lik stigningstallet.

Symmetri ($f(-x) = f(x)$ om $y$-aksen, $f(-x) = -f(x)$ om origo) og asymptoter -- linjene grafen kryper mot uten å nå, som $y = 0$ for $3^x$ og $x = 0$ for $\displaystyle \frac{1}{x}$ -- fullførte verktøykassen.

Drøftelisten din er klar: definisjonsmengde og verdimengde, nullpunkter, topp-/bunnpunkt, stigning og synking. Fem spørsmål -- og enhver funksjon må vise sitt sanne ansikt.