7.3 Lineær regresjon | Matematikk 1P

Lær å finne den best tilpassede rette linjen til et datasett, tolke korrelasjonskoeffisienten og bruke modellen til å gjøre prediksjoner.

55 min

6 oppgaver

Lineær regresjonKorrelasjonskoeffisientPrediksjonDigitale verktøy

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Hva er regresjon?

I mange situasjoner samler vi inn data og ønsker å beskrive sammenhengen mellom to størrelser med et funksjonsuttrykk. Denne prosessen kalles regresjon.

For eksempel kan vi måle temperaturen ute til ulike tidspunkt, registrere pris og etterspørsel for en vare, eller se på sammenhengen mellom treningstimer og løpstid. Når vi har et sett med datapunkter, prøver vi å finne en funksjon som passer best mulig til dataene.

Det finnes ulike typer regresjon avhengig av hvilken funksjonstype vi tilpasser:
- Lineær regresjon – en rett linje
- Eksponentiell regresjon – en eksponentialfunksjon
- Polynomregresjon – et polynom av en gitt grad

I dette kapittelet ser vi på lineær regresjon.

Spredningsdiagram

Før vi gjør regresjon, plotter vi datapunktene i et spredningsdiagram (også kalt punktdiagram). Dette gir oss et visuelt bilde av dataene og hjelper oss å vurdere om en lineær modell er fornuftig.

Hvert datapunkt har en $x$ -verdi og en $y$ -verdi, og vi plotter dem som punkter i et koordinatsystem.

Slik lager du et spredningsdiagram:
1. Velg hvilken variabel som er den uavhengige ( $x$ ) og hvilken som er den avhengige ( $y$ ).
2. Tegn et koordinatsystem med passende akser.
3. Plott alle datapunktene.
4. Vurder visuelt om punktene ser ut til å følge en rett linje, en kurve, eller om det ikke er noen tydelig sammenheng.

✏️Eksempel 1: Lage spredningsdiagram

En bonde registrerer hvor mye gjødsel (kg per dekar) han bruker, og avlingen (kg per dekar) han får:

Gjødsel (kg/daa)	10	15	20	25	30	35	40
Avling (kg/daa)	320	370	450	480	530	560	610

a) Plott dataene i et spredningsdiagram.
b) Ser det ut til å være en lineær sammenheng?

Løsning:

a) Vi setter gjødsel på $x$ -aksen og avling på $y$ -aksen, og plotter punktene:
$(10,\, 320)$ , $(15,\, 370)$ , $(20,\, 450)$ , $(25,\, 480)$ , $(30,\, 530)$ , $(35,\, 560)$ , $(40,\, 610)$ .

b) Når vi ser på spredningsdiagrammet, ligger punktene tilnærmet langs en rett linje som stiger fra venstre mot høyre. Det ser altså ut til å være en lineær sammenheng: mer gjødsel gir større avling.

Lineær regresjon

y = ax + b

✏️Eksempel 2: Finne regresjonslinjen

Bruk dataene fra eksempel 1 (gjødsel og avling) og et digitalt verktøy til å finne regresjonslinjen.

Gjødsel ( $x$ )	10	15	20	25	30	35	40
Avling ( $y$ )	320	370	450	480	530	560	610

Løsning:

Vi legger inn dataene i GeoGebra eller et regneark og bruker funksjonen for lineær regresjon.

Regresjonslinjen blir:

$y = 9{,}5x + 237$

Her betyr:
- $a = 9{,}5$ : for hver ekstra kg gjødsel per dekar øker avlingen med ca. $9{,}5$ kg per dekar.
- $b = 237$ : modellen anslår en avling på $237$ kg/daa uten gjødsel.

Kontroll: For $x = 20$ : $y = 9{,}5 \cdot 20 + 237 = 190 + 237 = 427$ . Den faktiske verdien var $450$ , så avviket er $23$ kg.

📊Utforsk: Lineær regresjon med RegLin

Datapunktene ligger nesten på en rett linje. Kommandoen RegLin finner linja som passer best til punktene (regresjonslinja, rød). Prøv å dra i et av punktene og se hvordan linja justerer seg.

Korrelasjon

Korrelasjon beskriver styrken og retningen av den lineære sammenhengen mellom to variabler.

Det finnes tre hovedtyper:

- Positiv korrelasjon: Når $x$ øker, øker også $y$ . Punktene i spredningsdiagrammet stiger mot høyre. Eksempel: Høyere temperatur → mer issalg.
- Negativ korrelasjon: Når $x$ øker, minker $y$ . Punktene faller mot høyre. Eksempel: Flere treningstimer → lavere hvilepuls.
- Ingen korrelasjon: Det er ingen tydelig lineær sammenheng mellom variablene. Punktene er spredt uten mønster. Eksempel: Skostørrelse og karakterer i matematikk.

Korrelasjonskoeffisienten r

r

$\|r\|$	Styrke
$0{,}9 - 1{,}0$	Svært sterk
$0{,}7 - 0{,}9$	Sterk
$0{,}4 - 0{,}7$	Moderat
$0{,}2 - 0{,}4$	Svak
$0{,}0 - 0{,}2$	Svært svak / ingen

✏️Eksempel 3: Tolke korrelasjonskoeffisienten

For gjødsel-avling-dataene finner vi $r = 0{,}992$ med et digitalt verktøy.

a) Er korrelasjonen positiv eller negativ?
b) Hvor sterk er den lineære sammenhengen?
c) Hva betyr dette i praksis?

Løsning:

a) $r = 0{,}992 > 0$ , så korrelasjonen er positiv. Det betyr at mer gjødsel henger sammen med høyere avling.

b) $|r| = 0{,}992$ er svært nær $1$ , noe som betyr en svært sterk lineær sammenheng.

c) I praksis betyr dette at det er en nesten perfekt lineær sammenheng mellom gjødselmengde og avling i dette området. Regresjonslinjen gir svært gode estimater.

📝Oppgave 7.6

Avgjør om korrelasjonen er positiv, negativ eller ingen:

Antall timer plugging og poengsum på en prøve

Bilens alder og salgspris

Hårfarge og kroppshøyde

Utetemperatur og strømforbruk til oppvarming

Løs oppgaven Tren

Bruke regresjonsmodellen til prediksjon

Når vi har funnet regresjonslinjen $y = ax + b$ , kan vi bruke den til å forutsi (predikere) $y$ -verdier for nye $x$ -verdier.

Eksempel: Hvis regresjonslinjen for gjødsel og avling er $y = 9{,}5x + 237$ , kan vi anslå avlingen ved $45$ kg gjødsel per dekar:

$y = 9{,}5 \cdot 45 + 237 = 427{,}5 + 237 = 664{,}5 \text{ kg/daa}$

Men vi må være forsiktige med å bruke modellen utenfor datasettet vi har brukt til å lage den.

Interpolering og ekstrapolering

- Interpolering: Vi bruker modellen til å anslå verdier innenfor området til dataene vi har. Dette gir vanligvis pålitelige resultater.
- Ekstrapolering: Vi bruker modellen til å anslå verdier utenfor det kjente dataområdet. Dette er mer usikkert fordi vi ikke vet om sammenhengen fortsetter på samme måte.

Eksempel: Gjødseldataene våre går fra $x = 10$ til $x = 40$ .
- Å beregne avling for $x = 22$ er interpolering (innenfor intervallet).
- Å beregne avling for $x = 80$ er ekstrapolering (utenfor intervallet). Kanskje for mye gjødsel skader plantene — da stemmer ikke en lineær modell lenger.

Korrelasjon betyr ikke årsak

At to størrelser korrelerer, betyr ikke nødvendigvis at den ene forårsaker den andre.

Eksempel: Det er en sterk positiv korrelasjon mellom issalg og antall drukningsulykker i løpet av et år. Men det er ikke isen som forårsaker drukning — begge deler skyldes en felles bakenforliggende faktor: varmt vær.

Vær alltid kritisk og tenk over om sammenhengen gir mening i konteksten.

✏️Eksempel 4: Regresjon med digitale verktøy

En bedrift selger varmepumper. Tabellen viser gjennomsnittlig utetemperatur i januar ( $x$ , i $°C$ ) og antall solgte varmepumper den måneden ( $y$ ) over åtte år:

Temperatur ( $°C$ )	$-12$	$-8$	$-5$	$-3$	$0$	$2$	$-10$	$-6$
Antall solgt	84	65	52	40	28	18	75	58

a) Bruk et digitalt verktøy til å finne regresjonslinjen.
b) Hva er korrelasjonskoeffisienten? Tolk svaret.

c) Bruk modellen til å anslå salget hvis januartemperaturen er $-7\,°C$ .
d) Ville det vært fornuftig å bruke modellen for å anslå salget ved $25\,°C$ ?

Løsning:

a) Vi legger inn dataene i GeoGebra eller et regneark og gjør lineær regresjon. Regresjonslinjen blir:

$y = -4{,}7x + 28$

b) Korrelasjonskoeffisienten er $r \approx -1{,}00$ .

- Korrelasjonen er negativ: lavere temperatur gir flere solgte varmepumper.
- $|r| \approx 1{,}00$ betyr en svært sterk lineær sammenheng.

c) For $x = -7$ :
$y = -4{,}7 \cdot (-7) + 28 = 32{,}9 + 28 = 60{,}9$
Modellen anslår ca. $61$ solgte varmepumper.

Dette er interpolering (innenfor dataområdet $-12$ til $2$ ), så estimatet er rimelig.

d) $25\,°C$ er langt utenfor dataområdet. Dette er ekstrapolering:
$y = -4{,}7 \cdot 25 + 28 = -117{,}5 + 28 = -89{,}5$

Et negativt antall gir ingen mening. Modellen bryter ned utenfor dataområdet, og ekstrapolering er ikke fornuftig her.

📝Oppgave 7.7

En sportskjede har registrert sammenhengen mellom annonsekostnader ( $x$ , i tusen kroner) og omsetning ( $y$ , i tusen kroner) over seks måneder:

Annonsekostnader ( $x$ )	5	10	15	20	25	30
Omsetning ( $y$ )	120	180	230	310	350	420

Bruk et digitalt verktøy til å finne regresjonslinjen.

Finn korrelasjonskoeffisienten og tolk den.

Bruk modellen til å anslå omsetningen dersom bedriften bruker 18 000 kr på annonser.

Er det fornuftig å bruke modellen til å anslå omsetningen ved annonsekostnader på 100 000 kr? Begrunn svaret.

I GeoGebra:
1. Skriv inn datapunktene som en liste, f.eks.

\{(10, 320), (15, 370), \ldots\}

2. Bruk kommandoen RegLin(<Liste>) for å finne regresjonslinjen.
3. GeoGebra viser også korrelasjonskoeffisienten.

I regneark (Excel/Google Sheets):
1. Legg inn $x$ -verdiene i én kolonne og $y$ -verdiene i en annen.
2. Marker dataene og sett inn et spredningsdiagram.
3. Høyreklikk på datapunktene og velg "Legg til trendlinje" → Lineær.
4. Kryss av for "Vis ligning" og "Vis $R^2$ -verdi". Merk: $R^2 = r^2$ .

📝Oppgave 7.8

En forsker undersøker sammenhengen mellom daglig skjermtid ( $x$ , i timer) og søvnkvalitet ( $y$ , skala $1$ – $10$ ) hos en gruppe ungdommer:

Skjermtid (timer)	1	2	3	4	5	6	7	8
Søvnkvalitet	8,5	8,0	7,2	6,8	6,0	5,5	4,8	4,2

Finn regresjonslinjen og korrelasjonskoeffisienten.

Tolk stigningstallet og konstantleddet i modellen.

Kan vi konkludere med at skjermtid forårsaker dårligere søvn? Begrunn.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Spredningsdiagram: Plott av datapunkter som viser sammenhengen mellom to størrelser.
- Lineær regresjon: Å finne den rette linjen $y = ax + b$ som passer best til datapunktene — gjøres digitalt.
- Korrelasjonskoeffisienten $r$ : Tall mellom $-1$ og $1$ som måler hvor sterk den lineære sammenhengen er.
- Interpolering (innenfor dataområdet) er tryggere enn ekstrapolering (utenfor).
- Korrelasjon er ikke årsak: At to størrelser samvarierer, beviser ikke at den ene forårsaker den andre.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Regresjonslinje	Linjen som passer dataene best
Korrelasjon	Samvariasjon mellom to størrelser
Interpolering	Bruke modellen innenfor datapunktene
Ekstrapolering	Bruke modellen utenfor datapunktene

Husk

r

nær

1

eller

-1

: sterk lineær sammenheng.

r

nær

0

: svak sammenheng

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 3 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.