5.1 Datainnsamling

Hva sier tallene om deg?

Du åpner statistikken på kontoen din i et sosialt medium. De fem siste innleggene dine fikk $4$, $7$, $8$, $9$ og $12$ likerklikk. En venn spør: «Hvor mange likes pleier du å få?» Hva svarer du da? Du kan ikke ramse opp alle tallene hver gang -- du trenger ett tall som beskriver det typiske.

Det er akkurat dette sentralmål handler om: tall som beskriver sentrum i et datasett. I dette kapittelet skal vi bli kjent med de tre viktigste -- gjennomsnitt, median og typetall -- og finne ut når du bør bruke hvilket. For som vi skal se: velger du feil mål, kan svaret bli direkte misvisende.

Gjennomsnittet -- alle bidrar likt

Den vanligste måten å beskrive et «typisk» tall på, er gjennomsnittet. Tenk deg at alle likerklikkene dine ble samlet i én stor pott og fordelt helt likt utover de fem innleggene. Hvor mange ville hvert innlegg fått da?

Vi legger sammen alle verdiene og deler på antall verdier:

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$

Symbolet $\bar{x}$ (les «x strek») er matematikkens navn på gjennomsnittet. For likerklikkene dine blir det:

$$\bar{x} = \frac{4 + 7 + 8 + 9 + 12}{5} = \frac{40}{5} = 8$$

Så du kan svare vennen din: «Jeg får i gjennomsnitt $8$ likes per innlegg.» Legg merke til at ingen av innleggene nødvendigvis fikk akkurat $8$ -- gjennomsnittet er en utregnet verdi som beskriver helheten, ikke ett bestemt innlegg.

Gjennomsnittet er enkelt å regne ut og bruker informasjonen fra alle verdiene. Men nettopp det at alle verdiene teller med, er også gjennomsnittets svakhet -- det skal vi se snart.

Medianen og typetallet -- to andre måter å se sentrum på

Tilbake til likerklikkene: $4$, $7$, $8$, $9$, $12$. En annen måte å finne det «typiske» på, er å sortere tallene og peke på det som står i midten. Det kalles medianen.

Tallene er allerede sortert, og med fem verdier er det den tredje som står midt i: $4$, $7$, $\mathbf{8}$, $9$, $12$. Medianen er $8$ -- her tilfeldigvis det samme som gjennomsnittet.

Men hva om antallet verdier er et partall? Si at en venn har fått $4$, $6$, $8$ og $10$ likes på fire innlegg. Da er det ingen verdi som står alene i midten -- både $6$ og $8$ deler midtplassen. Løsningen er å ta gjennomsnittet av de to midterste:

$$\text{median} = \frac{6 + 8}{2} = 7$$

Husk den viktigste regelen: sorter alltid dataene først. Medianen av $9$, $3$, $15$, $7$, $12$ er ikke $15$ (tallet i midten av den usorterte lista), men $9$ -- for sortert blir lista $3$, $7$, $\mathbf{9}$, $12$, $15$.

Det tredje sentralmålet er typetallet (også kalt modus): verdien som forekommer oftest. Spør du klassen om favorittfarge og flest svarer blå, er blå typetallet. Et datasett kan ha flere typetall hvis flere verdier forekommer like ofte -- eller ingen typetall, hvis alle verdiene er unike. Typetallet er det eneste sentralmålet som fungerer for data som ikke er tall i det hele tatt, som farger eller musikksjangre.

Når gjennomsnittet lyver

Nå skal du få se hvorfor det er viktig å velge riktig sentralmål. Tenk deg at ett av innleggene dine plutselig går viralt og får $500$ likes. Datasettet ditt er nå $4$, $7$, $8$, $9$, $500$.

Det nye gjennomsnittet blir:

$$\bar{x} = \frac{4 + 7 + 8 + 9 + 500}{5} = \frac{528}{5} = 105{,}6$$

«Jeg får i gjennomsnitt over $105$ likes per innlegg!» Det er matematisk riktig -- men gir det et ærlig bilde? Fire av fem innlegg fikk under $10$ likes. Den ene ekstreme verdien har dratt gjennomsnittet langt vekk fra det som er typisk.

Medianen, derimot, bryr seg ikke om hvor ekstrem den største verdien er. Sortert: $4$, $7$, $\mathbf{8}$, $9$, $500$ -- medianen er fortsatt $8$. Vi sier at medianen er robust mot ekstremverdier, altså verdier som skiller seg sterkt fra resten.

Dette er grunnen til at man nesten alltid oppgir medianinntekt når man snakker om lønn: noen få personer med skyhøy inntekt ville ellers dratt gjennomsnittet opp og gitt et skjevt bilde av hva folk flest tjener.

En grei huskeregel: bruk gjennomsnittet når dataene er jevnt fordelt uten ekstremverdier, medianen når ekstremverdier kan forstyrre bildet, og typetallet når dataene er kategorier som farger eller merker.

Oppsummering

Vi startet med et enkelt spørsmål: «Hvor mange likes pleier du å få?» -- og fant ut at det finnes tre ulike svar, avhengig av hvilket sentralmål vi velger.

Gjennomsnittet $\bar{x}$ finner vi ved å summere alle verdiene og dele på antallet. Det bruker all informasjonen i datasettet, men lar seg lett dra i én retning av ekstremverdier -- slik det virale innlegget dro snittet fra $8$ til over $105$.

Medianen er den midterste verdien i det sorterte datasettet. Med partall antall verdier tar vi gjennomsnittet av de to midterste. Medianen er robust: én vill verdi i hver ende rokker den knapt. Husk å sortere først!

Typetallet er verdien som forekommer oftest, og det eneste målet som fungerer for kategorier som farger og sjangre.

Neste gang du ser et «gjennomsnitt» i en overskrift, vet du hva du skal spørre om: finnes det ekstremverdier som drar tallet i én retning -- og ville medianen fortalt en ærligere historie?