4.4 Måleenheter og enhetsomregning

Et felles språk for alt som måles

Hvor langt er det til skolen? Hvor tung er sekken? Hvor fort kjører bussen? Hverdagen er full av målinger, og for at vi skal forstå hverandre, trenger vi felles enheter. I Norge og det meste av verden bruker vi SI-systemet, som bygger på grunnenheter som meter (m), kilogram (kg) og sekund (s).

Det smarte med SI-systemet er prefiksene -- småordene foran enheten som forteller om vi har ganget eller delt med 10, 100 eller 1000. Kilo (k) betyr tusen, så en kilometer er 1000 meter. Hekto (h) betyr hundre, deka (da) betyr ti. Andre veien: desi (d) betyr en tidel, centi (c) en hundredel og milli (m) en tusendel. En centimeter er altså en hundredels meter, og en millimeter en tusendels meter.

For lengde gir det den velkjente trappa: $1$ km $= 1000$ m, og videre $1$ m $= 10$ dm $= 100$ cm $= 1000$ mm. Skal du fra stor enhet til liten, ganger du; skal du fra liten til stor, deler du. For eksempel er $3{,}5$ km $= 3{,}5 \cdot 1000 = 3500$ m, mens $4200$ mm $\displaystyle = \frac{4200}{1000} = 4{,}2$ m, og $85$ cm $\displaystyle = \frac{85}{100} = 0{,}85$ m. Dette mønsteret er motoren i hele kapittelet -- resten handler om hva som skjer når enhetene er kvadrater, kuber, kilo eller kilometer i timen.

Når enhetene blir kvadrater og kuber

Her kommer kapittelets viktigste felle. Mange tror at $1$ m² er $100$ cm² -- men det stemmer ikke. Areal er lengde ganger lengde, så omregningsfaktoren må også ganges med seg selv: $1$ m² $= (100 \text{ cm})^2 = 10\,000$ cm². For arealenheter er faktoren mellom naboenhetene $10^2 = 100$: $1$ m² $= 100$ dm² $= 10\,000$ cm², og $1$ km² $= 1\,000\,000$ m². En stue på 24 m² er dermed $24 \cdot 10\,000 = 240\,000$ cm².

For tomter og jorder brukes egne mål: $1$ ar $= 100$ m², $1$ dekar (mål) $= 1000$ m², og $1$ hektar $= 10\,000$ m². En tomt på 850 m² er altså $0{,}85$ dekar.

Volum er lengde i tredje potens, så der er faktoren $10^3 = 1000$ mellom naboenhetene: $1$ m³ $= 1000$ dm³ $= 1\,000\,000$ cm³. Og her møter vi literen igjen: $1$ dm³ $= 1$ liter og $1$ cm³ $= 1$ milliliter, slik at $1$ m³ $= 1000$ liter.

La oss bruke det på et akvarium som er 60 cm langt, 30 cm bredt og 40 cm høyt. Volumet er $V = 60 \cdot 30 \cdot 40 = 72\,000$ cm³, og siden $1$ liter er $1000$ cm³, rommer akvariet $\displaystyle \frac{72\,000}{1000} = 72$ liter. Huskeregelen for hele seksjonen: Tenk på dimensjonen. Lengde gir faktor 10, areal faktor $10^2 = 100$, volum faktor $10^3 = 1000$.

Masse, tid og farten på veien

Masse følger et ryddig 1000-mønster: $1$ tonn $= 1000$ kg, $1$ kg $= 1000$ g og $1$ g $= 1000$ mg. En lastebil som kan frakte 3,5 tonn, tar altså 3500 kg -- det vil si 140 kasser på 25 kg. I dagligtale dukker også hektogrammet opp: $1$ hg, ofte kalt en «ons», er 100 gram.

Tid er en annerledes fugl, for den følger ikke titallssystemet: $1$ time er 60 minutter, $1$ minutt er 60 sekunder, og dermed er en time 3600 sekunder. Skal du gjøre om 2 timer og 45 minutter til minutter, regner du $2 \cdot 60 + 45 = 165$ minutter. Motsatt vei: $195$ minutter er $3$ timer og $15$ minutter, siden $195 = 3 \cdot 60 + 15$. Og pass på desimaltimene: $1{,}75$ timer er ikke 1 time og 75 minutter, men 1 time og $0{,}75 \cdot 60 = 45$ minutter.

Til slutt farten, som kombinerer lengde og tid. I trafikken bruker vi km/t, i fysikken m/s. Broen mellom dem er tallet $3{,}6$: Siden $1$ km/t er $\displaystyle \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}}$, gjelder at du deler på $3{,}6$ fra km/t til m/s, og ganger med $3{,}6$ fra m/s til km/t. En bil i 90 km/t beveger seg altså i $\displaystyle \frac{90}{3{,}6} = 25$ m/s -- 25 meter hvert sekund. Og en sprinter som løper 10 m/s, holder $10 \cdot 3{,}6 = 36$ km/t. Tenk på det neste gang du krysser veien.

Fortellingen om det store omregningssystemet

Alt som måles, har en enhet -- og nå behersker du systemet bak dem. SI-prefiksene er nøkkelen: kilo betyr tusen, desi tidel, centi hundredel og milli tusendel. For lengde er faktoren 10 mellom naboenhetene; fra stor til liten enhet ganger du, motsatt vei deler du.

Den store innsikten gjelder dimensjonene: Areal er lengde i andre potens, så faktoren blir $10^2 = 100$ -- og $1$ m² er $10\,000$ cm², ikke 100. Volum er lengde i tredje, med faktor $10^3 = 1000$ -- og broen til hverdagen er $1$ dm³ $= 1$ liter. For tomter husker du at $1$ dekar er $1000$ m².

Masse går i tusenskritt fra tonn til kg til g til mg, mens tid nekter å følge titallssystemet og teller 60 og 60. Og farten veksler du med det magiske tallet $3{,}6$: del når du går fra km/t til m/s, gang andre veien. Med dette omregningssystemet i ryggraden kan du trygt regne på alt fra akvarier til fartsgrenser -- og du er rustet for formlikheten i neste kapittel, der nettopp $k$, $k^2$ og $k^3$ spiller hovedrollene.