3.6 Digital graftegning og likningsløsning

Når datamaskinen tegner for deg

Du har nå tegnet mange grafer for hånd -- lineære, parabler og eksponentialkurver. Det er viktig trening, for du må vite hvordan grafene ser ut. Men i praksis, både på eksamen og i arbeidslivet, bruker vi digitale verktøy til det meste av graftegningen. De tegner presist og raskt, finner nullpunkter og toppunkter nøyaktig, og lar oss utforske hvordan grafer endrer seg når vi justerer tallene.

Det vanligste verktøyet i norsk skole er GeoGebra, som du finner gratis på geogebra.org. Å tegne en graf er nesten ikke noe arbeid: Du skriver funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet, for eksempel f(x) = 2x^2 - 3x + 1, trykker Enter -- og grafen dukker opp. Skriver du inn en funksjon til, for eksempel g(x) = x + 2, tegnes begge i samme koordinatsystem.

Den virkelige kraften ligger i kommandoene. Nullpunkt(f) finner nullpunktene, Ekstremalpunkt(f) finner topp- og bunnpunkter, Skjæring(f, g) finner skjæringspunktene mellom to grafer, og f(3) regner ut en funksjonsverdi. I dette kapittelet skal vi bruke disse verktøyene til å analysere grafer, løse likninger og ulikheter grafisk -- og til slutt finne funksjoner som passer til virkelige måledata.

Parabelen under lupen

La oss analysere en hel parabel digitalt. Skriv inn f(x) = -x^2 + 4x + 5 i GeoGebra. Siden $a = -1 < 0$, venter vi en parabel med toppunkt -- og det stemmer med det vi ser på skjermen.

Først toppunktet: Skriv Ekstremalpunkt(f), og GeoGebra markerer punktet $(2, 9)$. Du slipper å regne $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ for hånd, men legg gjerne merke til at formelen gir det samme: $\displaystyle -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.

Så nullpunktene: Kommandoen Nullpunkt(f) gir to punkter, $(-1, 0)$ og $(5, 0)$. Grafen krysser altså x-aksen i $x = -1$ og $x = 5$, og du kan kontrollere at de ligger symmetrisk om symmetrilinjen $x = 2$ -- like langt på hver side.

Til slutt skjæringen med y-aksen: Den finner du ved å regne ut $f(0)$. Skriv f(0) i inntastingsfeltet, og GeoGebra svarer 5 -- grafen krysser y-aksen i $(0, 5)$, som stemmer med konstantleddet. Med tre korte kommandoer har vi funnet alt som er verdt å vite om parabelen. Et godt råd: Bruk alltid kommandoene i stedet for å gjette ut fra grafbildet, og zoom slik at du ser alle de viktige punktene.

Likninger løst med blikket

Her kommer en av de nyttigste ideene i hele kapittelet: Enhver likning kan løses grafisk. Å løse en likning grafisk betyr å tegne venstresiden og høyresiden som hver sin funksjon, og finne x-verdiene der grafene krysser hverandre. Skjæringspunktenes x-koordinater er løsningene.

La oss løse $x^2 - 3x + 1 = 2x - 3$. Vi definerer $f(x) = x^2 - 3x + 1$ og $g(x) = 2x - 3$, skriver begge inn i GeoGebra og bruker kommandoen Skjæring(f, g). GeoGebra markerer to punkter: $(1, -1)$ og $(4, 5)$. Løsningene av likningen er x-koordinatene: $x = 1$ eller $x = 4$.

Det lønner seg alltid å kontrollere. Setter vi $x = 1$ inn på begge sider, får vi $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ og $g(1) = 2 - 3 = -1$ -- begge sider er like, så løsningen stemmer.

Denne metoden er spesielt verdifull når likningen er vanskelig å løse for hånd. Likningen $2^x = 10$ har for eksempel ingen pen løsning, men tegner du $f(x) = 2^x$ og $g(x) = 10$, leser du raskt av at $x \approx 3{,}32$. Husk bare å være oppmerksom på antall løsninger: En linje og en parabel kan ha to, ett eller ingen skjæringspunkter -- og dermed kan likningen ha to, én eller ingen løsninger.

Ulikheter og data fra virkeligheten

Også ulikheter kan løses grafisk. Ulikheten $f(x) > g(x)$ spør: For hvilke x-verdier ligger grafen til $f$ over grafen til $g$? Fremgangsmåten er å tegne begge grafene, finne skjæringspunktene, og deretter lese av i hvilke intervaller den ene ligger over den andre.

Ta ulikheten $x^2 - 4 < 2x + 4$. Vi tegner $f(x) = x^2 - 4$ og $g(x) = 2x + 4$, og Skjæring(f, g) gir punktene $(-2, 0)$ og $(4, 12)$. Mellom skjæringspunktene ligger parabelen under linjen, så løsningen er $-2 < x < 4$.

Til slutt en metode som kobler matematikken til virkelige data: regresjon. Ofte har vi målepunkter -- temperaturer, priser, abonnenttall -- og ønsker en funksjon som passer til dem. I GeoGebra legger du punktene inn som en liste, for eksempel liste = {(0, 85), (5, 68), (10, 55)}, og bruker RegLin(liste) for en lineær modell, RegPoly(liste, 2) for en andregradsmodell eller RegEksp(liste) for en eksponentiell modell. Måler du temperaturen i en kaffekopp over tid, finner GeoGebra for eksempel modellen $f(x) \approx 84{,}5 \cdot 0{,}963^x$: Kaffen startet på cirka 84,5 grader og avkjøles med omtrent 3,7 prosent per minutt. Med modellen i hånden kan du forutsi temperaturen etter 25 minutter -- omtrent 33 grader -- uten å måle.

Fortellingen om det digitale verkstedet

I dette kapittelet flyttet vi graftegningen fra papiret til skjermen. I GeoGebra skriver du funksjonsuttrykket rett inn, og kommandoene gjør analysearbeidet: Nullpunkt(f) finner hvor grafen krysser x-aksen, Ekstremalpunkt(f) finner topp- og bunnpunkter, og Skjæring(f, g) finner punktene der to grafer møtes.

Den store ideen er grafisk likningsløsning: Tegn venstre og høyre side av likningen som hver sin funksjon -- løsningene er x-koordinatene til skjæringspunktene. Ulikheter løses på samme måte, men da leser du av i hvilke intervaller den ene grafen ligger over eller under den andre. Og med regresjon -- RegLin, RegPoly, RegEksp -- finner du funksjoner som passer til ekte måledata, enten det er kaffetemperatur eller abonnenttall.

Husk de gode vanene: Zoom så du ser alle viktige punkter, bruk kommandoene i stedet for å gjette fra grafbildet, kontroller løsningene ved innsetting, og oppgi svar med riktig benevning. Da er det digitale verkstedet ditt komplett -- og hele funksjonskapittelet er i boks.