3.5 Eksponentialfunksjoner | Matematikk 1P

Lær om eksponentiell vekst og nedgang, vekstfaktor, doblings- og halveringstid.

55 min

7 oppgaver

EksponentialfunksjonVekstfaktorDoblingstidHalveringstid

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Fra lineær til eksponentiell vekst

Når en størrelse vokser med et fast beløp per tidsenhet, har vi lineær vekst. Men i mange situasjoner vokser størrelsen med en fast prosent per tidsenhet. Da har vi eksponentiell vekst.

Tenk på forskjellen:
- Lineær vekst: Du setter inn 500 kr på kontoen hvert år. Etter 10 år har du 5000 kr ekstra.
- Eksponentiell vekst: Pengene dine vokser med 5% per år. Jo mer du har, jo mer vokser det.

Eksponentiell vekst starter sakte, men akselererer raskt og kan bli svært stor.

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

Vekstfaktor som base

Vekstfaktoren $b$ henger direkte sammen med den prosentvise endringen per tidsenhet:

- Økning med $p$ %: $\displaystyle b = 1 + \frac{p}{100}$
- Nedgang med $p$ %: $\displaystyle b = 1 - \frac{p}{100}$

For eksempel:
- 3% årlig vekst: $b = 1{,}03$
- 8% årlig nedgang: $b = 0{,}92$
- 12% vekst per periode: $b = 1{,}12$
- 50% nedgang: $b = 0{,}50$

✏️Eksempel 1: Sparekonto

Du setter 10 000 kr i banken til 4% årlig rente. Lag en modell for beløpet etter $x$ år, og finn beløpet etter 5 år.

Løsning:

Startverdi: $a = 10\,000$

Årlig vekstfaktor: $\displaystyle b = 1 + \frac{4}{100} = 1{,}04$

Modell: $f(x) = 10\,000 \cdot 1{,}04^x$

Etter 5 år:
$f(5) = 10\,000 \cdot 1{,}04^5 = 10\,000 \cdot 1{,}2167 \approx 12\,167$

Etter 5 år har du omtrent 12 167 kr på kontoen.

📝Oppgave 3.5.1

Finn vekstfaktoren $b$ og skriv opp funksjonsuttrykket $f(x) = a \cdot b^x$ :

Startverdi 200, 10% årlig vekst

Startverdi 5000, 3% årlig nedgang

Startverdi 800, 25% vekst per periode

Startverdi 1200, 15% nedgang per periode

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2: Verdifall på bil

En ny bil koster 350 000 kr. Bilen mister 18% av verdien hvert år.

a) Sett opp en modell for bilens verdi etter $x$ år.
b) Hva er bilen verdt etter 3 år?
c) Hva er bilen verdt etter 8 år?

Løsning:

a) Startverdi $a = 350\,000$ kr. Årlig nedgang 18%, altså vekstfaktor $b = 1 - 0{,}18 = 0{,}82$ .

$V(x) = 350\,000 \cdot 0{,}82^x$

b) $V(3) = 350\,000 \cdot 0{,}82^3 = 350\,000 \cdot 0{,}5514 \approx 192\,976$ kr

Etter 3 år er bilen verdt ca. 193 000 kr.

c) $V(8) = 350\,000 \cdot 0{,}82^8 = 350\,000 \cdot 0{,}2044 \approx 71\,540$ kr

Etter 8 år er bilen verdt ca. 71 500 kr -- bare omtrent en femtedel av nybilprisen.

📊Utforsk: Eksponentiell vekst og nedgang

Blå graf viser vekst med vekstfaktor $1{,}08$ (8 % økning per år), rød graf viser nedgang med vekstfaktor $0{,}85$ (15 % reduksjon per år), begge fra startverdien 1000. Prøv å endre vekstfaktorene og se hva som skjer.

Doblingstid og halveringstid

Doblingstid er tiden det tar for en størrelse å bli dobbelt så stor ved eksponentiell vekst.

Halveringstid er tiden det tar for en størrelse å bli halvert ved eksponentiell nedgang.

I 1P finner vi doblings- og halveringstid ved å prøve oss fram, lese av fra graf, eller bruke digitale verktøy.

✏️Eksempel 3: Doblingstid

En bakteriekoloni starter med 500 bakterier og vokser med 15% per time. Finn doblingstiden ved å prøve ulike verdier for $x$ .

Løsning:

Modell: $f(x) = 500 \cdot 1{,}15^x$

Vi leter etter $x$ der $f(x) = 1000$ (dobbelt av 500):

$500 \cdot 1{,}15^x = 1000$
$1{,}15^x = 2$

Vi prøver:
- $x = 3$ : $1{,}15^3 = 1{,}521$ (for lite)
- $x = 5$ : $1{,}15^5 = 2{,}011$ (veldig nær 2!)
- $x = 4$ : $1{,}15^4 = 1{,}749$ (for lite)
- $x = 4{,}9$ : $1{,}15^{4{,}9} \approx 1{,}989$ (nesten)

Doblingstiden er omtrent 5 timer.

Merk: Doblingstiden er den samme uansett startverdien. Enten vi starter med 500, 1000 eller 10 000 bakterier, tar det ca. 5 timer å doble antallet.

📝Oppgave 3.5.2

Løs oppgavene om eksponentiell vekst og nedgang:

Et land har 2 millioner innbyggere og befolkningen vokser med 2% per år. Hvor mange innbyggere er det etter 10 år?

Et radioaktivt stoff har halveringstid 6 timer. Du starter med 80 gram. Hvor mye er igjen etter 18 timer?

En sparekonto gir 3,5% rente. Du setter inn 25 000 kr. Hvor mye har du etter 7 år?

Løs oppgaven Tren

Lineær vs. eksponentiell vekst

Det er viktig å forstå forskjellen:

Egenskap	Lineær vekst	Eksponentiell vekst
Formel	$f(x) = ax + b$	$f(x) = a \cdot b^x$
Endring per steg	Fast beløp ( $a$ )	Fast prosent
Graf	Rett linje	Buet kurve
Eksempel	Fastlønn per time	Rentesrente

Ved eksponentiell vekst med

b > 1

vil funksjonen alltid til slutt vokse raskere enn enhver lineær funksjon, uansett hvor bratt linjen er.

✏️Eksempel 4: Sammenligne veksttyper

To venner sparer penger:
- Sara setter inn 1000 kr ekstra per år (lineær vekst).
- Jonas starter med 5000 kr og pengene vokser med 8% per år (eksponentiell vekst).

Begge starter med 5000 kr. Sammenlign beløpene etter 5, 10 og 20 år.

Løsning:

Sara (lineær): $S(x) = 1000x + 5000$
Jonas (eksponentiell): $J(x) = 5000 \cdot 1{,}08^x$

År ( $x$ )	Sara	Jonas
5	$1000 \cdot 5 + 5000 = 10\,000$	$5000 \cdot 1{,}08^5 \approx 7\,347$
10	$1000 \cdot 10 + 5000 = 15\,000$	$5000 \cdot 1{,}08^{10} \approx 10\,795$
20	$1000 \cdot 20 + 5000 = 25\,000$	$5000 \cdot 1{,}08^{20} \approx 23\,305$

Etter 5 og 10 år leder Sara. Men den eksponentielle veksten til Jonas tar snart igjen, og etter lang nok tid vil Jonas ha langt mer enn Sara.

📝Oppgave 3.5.3

En fabrikk produserte 12 000 enheter i 2020. Produksjonen øker med 6% per år.

Sett opp en modell $P(x)$ for produksjonen $x$ år etter 2020.

Hvor mange enheter produseres i 2025?

Når vil produksjonen passere 20 000 enheter? Prøv ulike verdier.

Løs oppgaven Tren

En praktisk tommelfingerregel kalles 72-regelen:

$\text{Doblingstid} \approx \frac{72}{p}$

der $p$ er vekstraten i prosent.

Eksempler:
- 6% vekst: doblingstid $\displaystyle \approx \frac{72}{6} = 12$ perioder
- 8% vekst: doblingstid $\displaystyle \approx \frac{72}{8} = 9$ perioder
- 3% vekst: doblingstid $\displaystyle \approx \frac{72}{3} = 24$ perioder

Dette er en tilnærming, men den fungerer godt for overslagsregning.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Eksponentialfunksjon: $f(x) = a \cdot b^x$ , der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren.
- Vekstfaktor: $b > 1$ gir vekst ( $b = 1{,}05$ er $5\%$ økning), $0 < b < 1$ gir nedgang ( $b = 0{,}88$ er $12\%$ nedgang).
- Doblingstid: Tiden det tar før verdien dobles — anslås med 72-regelen: $\displaystyle \approx \frac{72}{p}$ år ved $p\,\%$ vekst.
- Lineær vs. eksponentiell: Lineær vekst øker med likt beløp per periode, eksponentiell med lik prosent.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Startverdi	$a$ — verdien når $x = 0$
Vekstfaktor	$b$ — det verdien ganges med per periode
Doblingstid	Tid før verdien er doblet
Halveringstid	Tid før verdien er halvert

Viktige formler

f(x) = a \cdot b^x

- Doblingstid

\displaystyle \approx \frac{72}{p}

år ved

p\,\%

årlig vekst

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.