3.4 Andregradsfunksjoner

Ballen som tegner matematikk på himmelen

Kast en ball til en venn og se på banen den følger gjennom lufta. Den stiger, flater ut, snur -- og faller. Den buede kurven ballen tegner, er ingen tilfeldighet: Det er en parabel, grafen til en andregradsfunksjon.

Til nå har vi jobbet med lineære funksjoner, der grafen er en rett linje. En andregradsfunksjon har i tillegg et ledd der $x$ er opphøyd i andre, og skrives på formen
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
der $a$, $b$ og $c$ er tall, og $a \neq 0$. Tallet $a$ er koeffisienten foran $x^2$, $b$ er koeffisienten foran $x$, og $c$ er konstantleddet. Kravet $a \neq 0$ er viktig: Forsvinner $x^2$-leddet, sitter vi igjen med en vanlig lineær funksjon.

Hvordan kjenner du igjen en andregradsfunksjon? Se etter høyeste potens av $x$. Uttrykket $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ er en andregradsfunksjon med $a = 3$, $b = -2$ og $c = 5$. Også $h(x) = -x^2 + 6$ er en, med $a = -1$, $b = 0$ og $c = 6$ -- det gjør ingenting at $x$-leddet mangler. Derimot er $g(x) = 4x + 7$ lineær, og $k(x) = x^3 - x^2 + 1$ er en tredjegradsfunksjon, siden høyeste potens er 3. Andregradsfunksjoner beskriver kastebaner, bremsestrekninger og arealer -- og i dette kapittelet skal vi bli kjent med hele parabelen.

Smilefjes eller sur munn: koeffisientenes makt

De tre tallene $a$, $b$ og $c$ bestemmer nøyaktig hvordan parabelen ser ut og hvor den ligger. Den viktigste jobben har $a$, koeffisienten foran $x^2$: Den bestemmer hvilken vei parabelen åpner seg.

Er $a > 0$, vender parabelen oppover -- som et smilefjes -- og kurven har et laveste punkt, et bunnpunkt. Er $a < 0$, vender den nedover -- som en sur munn -- og har et høyeste punkt, et toppunkt. En huskeregel: positivt $a$ gir en «glad» parabel, negativt $a$ gir en «trist» parabel. Pass på å ikke blande dette: Mange tror at negativ $a$ gir bunnpunkt, men det er motsatt.

Tallverdien til $a$ styrer også formen. Jo større $|a|$ er, desto smalere og brattere blir parabelen; jo mindre $|a|$ er, desto bredere blir den. Konstantleddet $c$ har samme rolle som hos de lineære funksjonene: Grafen krysser y-aksen i punktet $(0, c)$, fordi $f(0) = c$.

Ta $f(x) = 2x^2 + 3x - 1$ som eksempel: Her er $a = 2 > 0$, så parabelen vender oppover og har bunnpunkt, og den krysser y-aksen i $(0, -1)$. Funksjonen $g(x) = -4x^2 + x$ har derimot $a = -4 < 0$ -- sur munn, toppunkt -- og krysser y-aksen i origo, siden $c = 0$.

Toppen av kastet: symmetrilinje og ekstremalpunkt

En parabel er alltid symmetrisk: Du kan brette den langs en loddrett linje gjennom topp- eller bunnpunktet, og de to halvdelene dekker hverandre perfekt. Denne linjen kalles symmetrilinjen, og for $f(x) = ax^2 + bx + c$ ligger den i
$$x = -\frac{b}{2a}$$

Siden topp- eller bunnpunktet ligger på symmetrilinjen, gir formelen oss x-koordinaten til punktet direkte. Y-koordinaten finner vi ved å sette denne x-verdien inn i funksjonen. La oss finne bunnpunktet til $f(x) = x^2 - 4x + 7$, der $a = 1$ og $b = -4$. Symmetrilinjen ligger i $\displaystyle x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$, og $f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$. Bunnpunktet er $(2, 3)$.

Nå kan vi vende tilbake til ballkastet. En ball kastes rett opp, og høyden i meter etter $t$ sekunder er $h(t) = -5t^2 + 20t + 1{,}5$. Starthøyden er $h(0) = 1{,}5$ meter -- omtrent skulderhøyde. Siden $a = -5 < 0$ har parabelen et toppunkt, og det ligger i $\displaystyle t = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = 2$: Ballen er på sitt høyeste etter 2 sekunder. Selve høyden er $h(2) = -5 \cdot 4 + 40 + 1{,}5 = 21{,}5$ meter. Tre tall -- og hele kastet er beskrevet.

Der parabelen treffer bakken: nullpunkter

Når ballen lander, er høyden null. På grafspråket: Parabelen krysser x-aksen. Nullpunktene til en andregradsfunksjon er x-verdiene der $f(x) = 0$, og i motsetning til en rett linje kan en parabel oppføre seg på tre måter. Den kan krysse x-aksen to steder og ha to nullpunkter, den kan så vidt berøre aksen i ett punkt -- da tangerer den og har ett nullpunkt -- eller den kan sveve helt over eller under aksen og ha ingen nullpunkter.

I 1P finner vi som regel nullpunktene ved å lese av grafen eller bruke digitale verktøy. Men i enkle tilfeller klarer vi det med faktorisering. Se på $f(x) = x^2 - 5x + 6$. Vi setter $f(x) = 0$ og leter etter to tall som ganget sammen gir 6, og som lagt sammen gir $-5$. Tallene $-2$ og $-3$ passer, for $(-2) \cdot (-3) = 6$ og $(-2) + (-3) = -5$. Dermed kan vi skrive
$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$$
Et produkt er null bare hvis en av faktorene er null, så enten er $x - 2 = 0$ eller $x - 3 = 0$. Nullpunktene er $x = 2$ og $x = 3$, og grafen krysser x-aksen i $(2, 0)$ og $(3, 0)$. Noen uttrykk er enda enklere: $h(x) = x^2 - 9$ gir $x^2 = 9$, altså $x = 3$ eller $x = -3$.

Bremsespor og kvadratisk vekst

Andregradsfunksjoner handler ikke bare om baller i lufta -- de kan redde liv. Bremsestrekningen for en bil på tørr asfalt er tilnærmet gitt ved
$$s(v) = 0{,}005 \cdot v^2 + 0{,}2 \cdot v$$
der $v$ er farten i km/t og $s$ er bremsestrekningen i meter.

La oss regne på det. Ved 60 km/t: $s(60) = 0{,}005 \cdot 3600 + 0{,}2 \cdot 60 = 18 + 12 = 30$ meter. Ved 90 km/t: $s(90) = 0{,}005 \cdot 8100 + 0{,}2 \cdot 90 = 40{,}5 + 18 = 58{,}5$ meter. Stopp opp et øyeblikk og se på tallene: Farten økte med 50 prosent, men bremsestrekningen ble nesten dobbelt så lang -- $\displaystyle \frac{58{,}5}{30} = 1{,}95$. Det er $x^2$-leddet som har skylden: Når farten dobles, firedobles bidraget fra kvadratleddet. Dette er en av grunnene til at fartsgrenser finnes, og et godt eksempel på at kvadratisk vekst vokser mye raskere enn lineær.

Til slutt et tips når du skal tegne en parabel for hånd: Finn først topp- eller bunnpunktet med $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$, velg deretter noen x-verdier på begge sider av symmetrilinjen, og regn ut funksjonsverdiene. Husk symmetrien -- punkter like langt fra symmetrilinjen har samme y-verdi, så du får to punkter for prisen av ett.

Fortellingen om parabelen

Fra ballkast til bremsespor: Andregradsfunksjonen $f(x) = ax^2 + bx + c$ tegner alltid en parabel. Koeffisienten $a$ bestemmer formen -- $a > 0$ gir smilefjes med bunnpunkt, $a < 0$ gir sur munn med toppunkt, og jo større $|a|$, desto smalere kurve. Konstantleddet $c$ viser hvor grafen krysser y-aksen.

Parabelen er symmetrisk om symmetrilinjen $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$, og på den ligger toppunktet eller bunnpunktet -- regn ut x-verdien med formelen og y-verdien ved innsetting. Nullpunktene er løsningene av $f(x) = 0$, der grafen krysser x-aksen, og det kan finnes to, ett eller ingen. I enkle tilfeller finner du dem ved faktorisering, ellers med graf eller digitale verktøy.

Og kanskje viktigst av alt: Kvadratisk vekst er noe annet enn lineær. Når farten øker litt, øker bremsestrekningen mye. Neste gang du ser en ball i lufta eller et bremsespor på asfalten, vet du hvilken funksjon som står bak.