7.2 Standardform

Når tall sprenger grensene

Avstanden fra Jorda til Sola er omtrent $149\,600\,000\,000$ meter. Massen til et vannmolekyl er rundt $0{,}000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,03$ kg. Bare det å lese disse tallene er en utfordring -- og å regne med dem for hand er nesten umulig. Heldigvis har vitenskapsfolk funnet en elegant løsning: standardform, også kalt vitenskapelig notasjon.

I stedet for å skrive ut alle nullene, bruker vi tierpotenser til å gjøre tallene kompakte og lesbare.

Hva er standardform?

Et tall er på standardform når det skrives som:

$$a \times 10^n$$

der $1 \leq a < 10$ (nøyaktig ett siffer foran kommaet, og det sifferet er ikke $0$) og $n$ er et helt tall.

For eksempel er $3{,}5 \times 10^8$ på standardform fordi $3{,}5$ ligger mellom $1$ og $10$. Men $35 \times 10^7$ er ikke standardform (fordi $35 \geq 10$), og $0{,}35 \times 10^9$ er heller ikke det (fordi $0{,}35 < 1$).

Tierpotensene fungerer som en «zoomeknapp»: $10^1 = 10$, $10^2 = 100$, $10^3 = 1000$, og så videre. For små tall går vi den andre veien: $10^{-1} = 0{,}1$, $10^{-2} = 0{,}01$, $10^{-3} = 0{,}001$. Og $10^0 = 1$ -- utgangspunktet.

For store tall flytter du kommaet til venstre til det står ett siffer foran, og teller antall plasser. Tallet $4\,700\,000$ blir $4{,}7 \times 10^6$ fordi kommaet flyttes $6$ plasser. For små tall flytter du kommaet til høyre, og eksponenten blir negativ: $0{,}00045$ blir $4{,}5 \times 10^{-4}$ fordi kommaet flyttes $4$ plasser til høyre.

For å gå tilbake fra standardform til vanlig tall gjør du det motsatte: positiv eksponent betyr at du flytter kommaet til høyre ($2{,}5 \times 10^4 = 25\,000$), og negativ eksponent betyr at du flytter til venstre ($3{,}7 \times 10^{-3} = 0{,}0037$).

Regning med standardform

Når du skal multiplisere tall på standardform, ganger du $a$-verdiene for seg og adderer eksponentene:

$$(a \times 10^m) \cdot (b \times 10^n) = (a \cdot b) \times 10^{m+n}$$

For eksempel: $(3 \times 10^4) \cdot (2 \times 10^5) = 6 \times 10^9$. Enkelt!

Når du skal dividere, deler du $a$-verdiene og subtraherer eksponentene:

$$\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}$$

Men her må du vare obs: sjekk alltid at svaret er på riktig standardform! Hvis $a \cdot b \geq 10$, må du justere. For eksempel: $(5 \times 10^6) \cdot (7 \times 10^3) = 35 \times 10^9$. Men $35 \geq 10$, så vi skriver om til $3{,}5 \times 10^{10}$. Tilsvarende, hvis $\displaystyle \frac{a}{b} < 1$, justerer du den andre veien: $\displaystyle \frac{3{,}6 \times 10^{-2}}{9 \times 10^{-5}} = 0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$.

Disse reglene gjør det mulig å handtere vanvittig store og små tall. Et lysars avstand er $3 \times 10^8$ m/s ganger $3{,}15 \times 10^7$ sekunder $= 9{,}45 \times 10^{15}$ meter. Sola er omtrent $\displaystyle \frac{2 \times 10^{30}}{6 \times 10^{24}} \approx 3{,}3 \times 10^5$ ganger tyngre enn Jorda -- altså rundt $330\,000$ ganger!

Oppsummering

Standardform ($a \times 10^n$ der $1 \leq a < 10$) er et uunnvarlig verktøy for å handtere ekstremt store og små tall. Store tall gir positiv eksponent, små tall gir negativ eksponent. Ved multiplikasjon adderer vi eksponentene, ved divisjon subtraherer vi dem. Husk alltid å sjekke at $a$-verdien er mellom $1$ og $10$ i svaret.

Standardform brukes mye i naturvitenskap, astronomi og teknologi -- overalt der tallene sprenger grensene for hva vi kan skrive ut med vanlige sifre.