6.1 Prosentregning

Prosent -- tallet som styrer lommeboken din

Du ser det overalt: "50% RABATT!", "Renta øker med 0,5 prosentpoeng", "Inflasjonen er 5,8%". Prosent gjennomsyrer økonomien, og den som forstår prosentregning, tar bedre beslutninger med pengene sine.

Prosent betyr rett og slett "per hundre". 25% er det samme som $\displaystyle \frac{25}{100} = 0{,}25$. Så enkelt er det i bunn og grunn. Men når vi begynner å stable prosenter på hverandre -- rabatt på toppen av prisøkning på toppen av moms -- da kan selv erfarne voksne gå i fella.

De tre grunnleggende beregningene du må mestre:

Prosentandel: Hvor stor del noe utgjør: $\displaystyle \text{prosentandel} = \frac{\text{del}}{\text{hele}} \cdot 100\%$

Prosentøkning: $\displaystyle \text{ny verdi} = \text{gammel verdi} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

Prosentreduksjon: $\displaystyle \text{ny verdi} = \text{gammel verdi} \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$

La oss varme opp: 35% av 800 kr er $0{,}35 \cdot 800 = 280$ kr. En vare til 1200 kr med 25% avslag: $1200 \cdot 0{,}75 = 900$ kr. I en klasse på 28 besto 21 en prøve: $\displaystyle \frac{21}{28} \cdot 100\% = 75\%$.

Rabatt og moms -- hverdagsmatematikk

Tenk deg at du er på jakt etter en ny jakke til 1600 kr. Butikken har 40% salg. Hva blir prisen?

$$\text{Salgspris} = 1600 \cdot (1 - 0{,}40) = 1600 \cdot 0{,}60 = 960 \text{ kr}$$

Moms (merverdiavgift) er en avgift som legges til prisen. I Norge er vanlig moms 25%. En håndverker som oppgir 4800 kr uten moms -- hva må du betale?

$$\text{Pris med moms} = 4800 \cdot 1{,}25 = 6000 \text{ kr}$$

Hva om du vil finne prisen UTEN moms? En TV koster 7500 kr inkludert moms:

$$\text{Pris uten moms} = \frac{7500}{1{,}25} = 6000 \text{ kr}$$

Et lurt spørsmål: En vare koster 500 kr. Først får du 20% rabatt, så legges 25% moms på. Hva betaler du? Etter rabatt: $500 \cdot 0{,}80 = 400$ kr. Med moms: $400 \cdot 1{,}25 = 500$ kr. Tilbake til start! Men det er tilfeldigheter -- dette gjelder bare for akkurat denne kombinasjonen av rabatt og moms.

Prosentpoeng vs. prosentvis endring -- ikke la deg lure

Her er en felle som selv journalister og politikere går i. Tenk deg at arbeidsledigheten øker fra 6% til 9%.

Prosentpoeng: Forskjellen mellom prosenttallene: $9\% - 6\% = 3$ prosentpoeng.

Prosentvis endring: Hvor mye det endret seg i forhold til utgangspunktet: $\displaystyle \frac{9 - 6}{6} \cdot 100\% = 50\%$.

Ledigheten økte altså med 3 prosentpoeng, men dette tilsvarer en økning på hele 50%! Det høres veldig forskjellig ut. Renta som gikk fra 2% til 5%: det er 3 prosentpoeng, men en prosentvis økning på $\displaystyle \frac{3}{2} \cdot 100\% = 150\%$.

Når politikere sier "renta økte med 3 prosentpoeng" høres det moderate ut. Når de sier "renta økte med 150%" høres det dramatisk ut. Begge er sant -- men de forteller ulike deler av historien.

Finne opprinnelig verdi og sammensatte endringer

Noen ganger vet du sluttprisen og vil finne tilbake til den opprinnelige. En bukse koster 560 kr etter 30% rabatt. Hva var originalprisen?

$$x \cdot 0{,}70 = 560 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{560}{0{,}70} = 800 \text{ kr}$$

Etter 5% lønnsøkning tjener Maria 42 000 kr. Lønn før? $\displaystyle \frac{42\,000}{1{,}05} = 40\,000$ kr.

Nå kommer vi til noe som overrasker mange: en økning på 20% etterfulgt av en nedgang på 20% gir IKKE tilbake til start!

La oss si en aksje starter på 100 kr. Opp 20%: $100 \cdot 1{,}20 = 120$ kr. Ned 20%: $120 \cdot 0{,}80 = 96$ kr. Du har tapt 4%!

Forklaringen er at nedgangen beregnes fra et høyere beløp. Totalt: $1{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}96 = 96\%$ av opprinnelig verdi.

En pris som øker 10% to ganger: $1{,}10 \cdot 1{,}10 = 1{,}21$, altså 21% total økning (ikke 20%). To like store prosentvise økninger gir 44% total økning? Da er $x^2 = 1{,}44$, så $x = 1{,}2$, altså 20% per gang.

Praktiske anvendelser -- slik påvirker prosent lommeboken din

La oss se på realistiske situasjoner. Ola tjener 38 000 kr per måned og får 3,5% lønnsøkning: $38\,000 \cdot 1{,}035 = 39\,330$ kr.

Marie har 450 000 kr i årslønn med 28% skatt. Utbetalt: $450\,000 \cdot 0{,}72 = 324\,000$ kr per år.

Et lurt spørsmål: En aksje steg 100% på ett år. Hvor mye må den synke aret etter for å komme tilbake? Etter 100% økning er verdien doblet. For å halvere den må den synke 50% -- ikke 100%!

Hvilken rabatt er best? Butikk A har 20% rabatt. Butikk B har 10% + 10% + 10% rabatt etter hverandre.
- A: $0{,}70 = 70\%$ av prisen (30% rabatt)
- B: $0{,}90^3 = 0{,}729 = 72{,}9\%$ av prisen (bare 27,1% rabatt)

Tre ganger 10% er altså IKKE det samme som 30%! Tilbud A er best.

En bilforhandler kjøper en bil for 180 000 kr, legger på 25% påslag, og kunden betaler også 25% moms:
$$180\,000 \cdot 1{,}25 \cdot 1{,}25 = 281\,250 \text{ kr}$$

Oppsummering

- Prosent betyr "per hundre": 25% = 0,25. Grunnleggende: finn prosentandel, beregn økning/reduksjon.

- Rabatt og moms: Rabatt trekkes fra ($\cdot (1 - p/100)$), moms legges til ($\cdot 1{,}25$). For å finne pris uten moms: del på 1,25.

- Prosentpoeng vs. prosentvis endring: Prosentpoeng er differansen mellom prosenttall. Prosentvis endring beregnes fra utgangspunktet. De er IKKE det samme!

- Finne opprinnelig verdi: Del på vekstfaktoren. Ny verdi / (1 + p/100) eller ny verdi / (1 - p/100).

- Sammensatte endringer: Gang vekstfaktorene. 20% opp og 20% ned = $1{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}96$, IKKE tilbake til start.

- Praktisk huskeregel: Tre ganger 10% rabatt er IKKE 30% rabatt ($0{,}90^3 = 0{,}729$, altså bare 27,1%).