4.3 Vektorer - introduksjon

Størrelser med retning

Noen størrelser i verden rundt oss har bare en størrelse -- som temperatur, masse og tid. Slike kalles skalarer. Men mange størrelser har også en retning: fart (50 km/t mot nord), kraft (100 N nedover) og forflytning (3 km mot øst). Slike størrelser kalles vektorer, og de trenger vi egne regnemetoder for.

Vi skriver vektorer som $\vec{v}$ og representerer dem på koordinatform som $\vec{v} = [v_x, v_y]$, der $v_x$ er x-komponenten og $v_y$ er y-komponenten. Lengden (eller absoluttverdien) finner vi med Pytagoras: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

For å finne vektoren fra punkt $A(1, 2)$ til punkt $B(4, 6)$ trekker vi fra: $\vec{AB} = [4 - 1, 6 - 2] = [3, 4]$. Lengden er $|\vec{AB}| = \sqrt{9 + 16} = 5$. Legg merke til at vektoren mellom to punkter er sluttpunkt minus startpunkt, komponent for komponent.

Regning med vektorer

Addisjon av vektorer er enkelt: vi legger sammen tilsvarende komponenter. Hvis $\vec{a} = [3, 2]$ og $\vec{b} = [1, 4]$, er $\vec{a} + \vec{b} = [4, 6]$. Geometrisk betyr dette at vi legger vektorene etter hverandre (hode til hale), og sumvektoren går fra starten av den første til slutten av den andre.

Subtraksjon fungerer tilsvarende: $\vec{a} - \vec{b} = [a_x - b_x, a_y - b_y]$. Og skalarmultiplikasjon betyr at vi ganger hver komponent med et tall: $3\vec{v} = 3 \cdot [2, -3] = [6, -9]$. Hvis vi ganger med et negativt tall, snur vektoren retning: $-2\vec{v} = [-4, 6]$.

Vi kan også kombinere operasjoner. For eksempel: $2\vec{a} + 3\vec{b}$ med $\vec{a} = [1, 2]$ og $\vec{b} = [3, -1]$ gir $[2, 4] + [9, -3] = [11, 1]$.

Et spesielt tilfelle: to vektorer som er like store men motsatt rettet, gir nullvektoren $\vec{0} = [0, 0]$ når de legges sammen. For eksempel er $[4, -3] + [-4, 3] = [0, 0]$.

Vektorer i praksis

Vektorer er uunnværlige i fysikk og navigasjon. Tenk deg en båt som kjører med 20 km/t mot øst, men strømmen går 5 km/t mot nord. Båtens vektor er $\vec{v_b} = [20, 0]$ og strømmens er $\vec{v_s} = [0, 5]$. Den resulterende hastigheten er $\vec{v_r} = [20, 5]$ med fart $\sqrt{400 + 25} = \sqrt{425} \approx 20{,}6$ km/t.

Eller tenk på et fly som skal fly rett nord med lufthastighet 300 km/t, men det blåser 50 km/t fra vest mot øst. Flyet må styre litt mot nordvest for å kompensere. Vinkelen fra nord: $\displaystyle \sin v = \frac{50}{300}$, som gir $v \approx 9{,}6°$ vest for nord. Bakkehastigheten blir $\sqrt{300^2 - 50^2} \approx 296$ km/t.

Et skip seiler fra A til B med $\vec{AB} = [12, 5]$ km, deretter fra B til C med $\vec{BC} = [-4, 8]$ km. Total forflytning: $\vec{AC} = [8, 13]$ km, og avstanden fra A til C er $\sqrt{64 + 169} \approx 15{,}3$ km -- mye kortere enn den faktiske seilte distansen på $13 + \sqrt{80} \approx 21{,}9$ km.

Oppsummering

En vektor er en størrelse med både lengde og retning, skrevet som $\vec{v} = [v_x, v_y]$. Lengden er $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. Vektorer legges sammen og trekkes fra komponent for komponent. Skalarmultiplikasjon ganger hver komponent med tallet. Vektoren mellom to punkter er sluttpunkt minus startpunkt. Vektorer brukes til å beskrive krefter, hastigheter og forflytninger i fysikk og navigasjon. Summen av vektorer gir den resulterende effekten.